CORDIC理论分析
1、cordic 理论
1.1、 坐标旋转数字计算机cordic
坐标旋转数字计算机cordic(coordinate rotation digital computer)算法，通过移位和加减运算，能递归计算常用函数值，如sin， cos，sinh，cosh等函数，由j. volder于1959年提出 ，首先用于导航系统，使得矢量的旋转和定向运算不需要做查三角函数表、乘法、开方及反三角函数等复杂运算。j. walther在1974年用它研究了一种能计算出多种超越函数的统一算法 。
1.2、cordic原理
如图所示，初始向量(x(0)，y(0))旋转θ角度之后得到向量(x1，y1)，此向量有如下关系：
x1=x0*cos(θ)-y0*sin(θ)=cos(θ)(x0-y0*tan(θ))
y1=y0*cos(θ)+x0*sin(θ)=cos(θ)(y0+x0*tan(θ))
假设初始向量经过n次旋转之后得到新向量，且每次旋转角度δ都是正切值为2的倍数，则第i次旋转角度为δ-arctan(2^(-i))，即cosδ=(1/(1+2^(-2i)))^0.5。
容易得到角度θ≈∑s(i)●δ(i)，其中s(i)=1或-1，表示旋转角度的方向，
第i步旋转可以表示为：
x(i+1)=((1/(1+2^(-2i)))^0.5)●(x(i)-s(i)y(i)2^(-i))
y(i+1)=((1/(1+2^(-2i)))^0.5)●(y(i)+s(i)x(i)2^(-i))
其中(1/(1+2^(-2i)))^0.5)称为校模因子，当旋转次数一定时，趋于一个常数，π(1/(1+2^(-2i)))^0.5)≈0.6073
这样，算法每一步就可以简化为：
x(i+1)=(x(i)-s(i)y(i)2^(-i))
y(i+1)=(y(i)+s(i)x(i)2^(-i))
从而可以看出，对于移动的角度θ，现在只需要硬件加减法器和移位器就可以算出结果。引入z，表示i次旋转后相位累加的部分和，则：
z(i+1)=z(i)-s(i)arctan(2^(-i))
经过n次旋转之后，z→0，即与目标角重合，即：
x(n)=x1=x0*cos(θ)-y0*sin(θ)
y(n)=y1=y0*cos(θ)+x0*sin(θ)
1.3、三角函数的计算
以sin/cos计算为例，可利用正/余弦的和角公式递归进行：
cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) = cos(a) [cos(b) – tan(a)sin(b)]
sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) = cos(a) [tan(a)cos(b) +sin(b)]
取a=arctan(2^-k), 即tan(a)=2^-k, 则cos(b) – tan(a)sin(b) 可通过移位和减法来实现。
如果角度z可以表示为z = s0 arctan(2^0) + s1 arctan(2^-1) + ... + sn arctan(2^-n), 其 中s0, s1, ..., sn取+1或-1(+1可以理解为逆时针转角，即加上一个角度; -1则相反) ，那么角度z的sin/cos计算可以通过一系列的移位和加减运算来实现。注意到cos(sk arctan(2^-k))=cos(arctan(2^-k)) 与转角方向无关。此外，z应取第一项限角度(收敛域)，对於其他项限角度，可由其第一项限对应角度变换得到。
相类似地，sinh/cosh的计算利用以下公式：
cosh(a+b) = cosh(a)cosh(b) + sinh(a)sinh(b) = cosh(a) [cosh(b) + tanh(a)sinh(b)]
sinh(a+b) = sinh(a)cosh(b) + cosh(a)sinh(b) = cosh(a) [tanh(a)cosh(b) + sinh(b)]
取a=arctanh(2^-k), 即tanh(a)=2^-k, 则cosh(b) + tanh(a)sinh(b) 可通过移位和减法来实现。如果参数z可以表示为z = s1 arctanh(2^-1) + s2 arctanh(2^-2) + ... + sn arctanh(2^-n), 其 中s1, s2, ..., sn取+1或-1 ，那么z的sinh/cosh计算可以通过一系列的移位和加减运算来实现。
z应取[-ln2, ln2]范围内的值，否则应先预处理 z = z’– pln2, 求得cosh(z’)/sinh(z’)的值，则
cosh(z) = cosh(z’)cosh(pln2) + sinh(z’)sinh(pln2) = ½[cosh(z’) + sinh(z’)]2^p + ½[cosh(z’) – sinh(z’)]2^-p
sinh(z) = sinh(z’)cosh(pln2) + cosh(z’)sinh(pln2) = ½[cosh(z’) + sinh(z’)]2^p + ½[sinh(z’) – cosh(z’)]2^-p 。
sin/cos和sinh/cosh的计算是cordic算法的两个特例，cordic算法可描述如下:
给定初始值x(0), y(0), z(0),
x(k+1) = x(k) – ms(k)y(k)2^-q(m,k), y(k+1) = y(k) + s(k)x(k) 2^-q(m,k), z(k+1) = z(k) – s(k)d(k),
其中m表示模式，q(m,k) 为移位序列，s(k) 取+1或-1表示旋转方向，d(k) 为递进角度。
1.4、cordic的matlab 运算
以cos(a)/sin(a)计算为例，m = 1, x(0) = 1, y(0) = 0, z(0) = a, s(k) = sign(z(k)),移位序列q(1,k): 0, 1, 2, ..., 递进角度为d(k)=arctan(2^-q(1,k)) 。
下面是实现的matlab程序:
z = a;
x = 0.6072529350; % scaled cos(0)
y = 0; % sin(0)
for i = 1:k
signz = sign(z); % s(k) for rotation direction
xnew = x - signz*y*2^(-(i-1));
y = signz*x*2^(-(i-1)) + y;
x = xnew;
z = z - signz*atan(2^(-(i-1))); % atan(2^-(i-1)) is included in a look-up table
end
x的初始值为cos(arctan(1)), cos(arctan(2^-1)), ..., cos(arctan(2^-k) 的连积值，收敛为0.6072529350。
以cosh(a)/sinh(a)计算为例，m = -1, x(0) = 1, y(0) = 0, z(0) = a, s(k) = sign(z(k)),移位序列q(-1,k): 1, 2, 3, 4, 4, 5, ... (3n+1重复两次以保证收敛, 4, 13, 40, ...), 递进角度为d(k)=arctanh(2^-q(-1,k)) 。
通过对初始值和旋转方向s(k) 的选择，模式m=0可以计算乘法和除法; 模式m=1可以计算sin/cos/arcsin/arccos/arctan; 模式m=-1可直接计算sinh/cosh/exp/arctanh/ln/sqrt, 间接计算arcsinh/arccosh，参见[1]。
2、cordic的现实意义
由于具有频率精度高、转换时间短、频谱纯度高以及频率相位易编程等特点， 数控振荡器(nco)被广泛应用于软件无线电数字上、下变频以及各种频率和相位数字调制解调系统中。nco传统的实现方法主要有查表法、多项式展开法或近似法，但这些方法在速度、精度、资源方面难以兼顾。而采用cordic算法来实现超函数时，则无需使用乘法器，它只需要一个最小的查找表(lut)，利用简单的移位和相加运算，即可产生高精度的正余弦波形，尤其适合于fpga的实现。
数字控制振荡器(nco，numerical controlled oscillator)是软件无线电、直接数据频率合成器(dds，direct digital synthesizer)、快速傅立叶变换(fft，fast fourier transform)等的重要组成部分，同时也是决定其性能的主要因素之一，随着芯片集成度的提高、在信号处理、数字通信领域、调制解调、变频调速、制导控制、电力电子等方面得到越来越广泛的应用。
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通过外部控制的猝发方式工作电路
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1.2、cordic原理
如图所示，初始向量(x(0)，y(0))旋转θ角度之后得到向量(x1，y1)，此向量有如下关系：
x1=x0*cos(θ)-y0*sin(θ)=cos(θ)(x0-y0*tan(θ))
y1=y0*cos(θ)+x0*sin(θ)=cos(θ)(y0+x0*tan(θ))
假设初始向量经过n次旋转之后得到新向量，且每次旋转角度δ都是正切值为2的倍数，则第i次旋转角度为δ-arctan(2^(-i))，即cosδ=(1/(1+2^(-2i)))^0.5。
容易得到角度θ≈∑s(i)●δ(i)，其中s(i)=1或-1，表示旋转角度的方向，
第i步旋转可以表示为：
x(i+1)=((1/(1+2^(-2i)))^0.5)●(x(i)-s(i)y(i)2^(-i))
y(i+1)=((1/(1+2^(-2i)))^0.5)●(y(i)+s(i)x(i)2^(-i))
其中(1/(1+2^(-2i)))^0.5)称为校模因子，当旋转次数一定时，趋于一个常数，π(1/(1+2^(-2i)))^0.5)≈0.6073
这样，算法每一步就可以简化为：
x(i+1)=(x(i)-s(i)y(i)2^(-i))
y(i+1)=(y(i)+s(i)x(i)2^(-i))
从而可以看出，对于移动的角度θ，现在只需要硬件加减法器和移位器就可以算出结果。引入z，表示i次旋转后相位累加的部分和，则：
z(i+1)=z(i)-s(i)arctan(2^(-i))
经过n次旋转之后，z→0，即与目标角重合，即：
x(n)=x1=x0*cos(θ)-y0*sin(θ)
y(n)=y1=y0*cos(θ)+x0*sin(θ)
1.3、三角函数的计算
以sin/cos计算为例，可利用正/余弦的和角公式递归进行：
cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) = cos(a) [cos(b) – tan(a)sin(b)]
sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) = cos(a) [tan(a)cos(b) +sin(b)]
取a=arctan(2^-k), 即tan(a)=2^-k, 则cos(b) – tan(a)sin(b) 可通过移位和减法来实现。
如果角度z可以表示为z = s0 arctan(2^0) + s1 arctan(2^-1) + ... + sn arctan(2^-n), 其 中s0, s1, ..., sn取+1或-1(+1可以理解为逆时针转角，即加上一个角度; -1则相反) ，那么角度z的sin/cos计算可以通过一系列的移位和加减运算来实现。注意到cos(sk arctan(2^-k))=cos(arctan(2^-k)) 与转角方向无关。此外，z应取第一项限角度(收敛域)，对於其他项限角度，可由其第一项限对应角度变换得到。
相类似地，sinh/cosh的计算利用以下公式：
cosh(a+b) = cosh(a)cosh(b) + sinh(a)sinh(b) = cosh(a) [cosh(b) + tanh(a)sinh(b)]
sinh(a+b) = sinh(a)cosh(b) + cosh(a)sinh(b) = cosh(a) [tanh(a)cosh(b) + sinh(b)]
取a=arctanh(2^-k), 即tanh(a)=2^-k, 则cosh(b) + tanh(a)sinh(b) 可通过移位和减法来实现。如果参数z可以表示为z = s1 arctanh(2^-1) + s2 arctanh(2^-2) + ... + sn arctanh(2^-n), 其 中s1, s2, ..., sn取+1或-1 ，那么z的sinh/cosh计算可以通过一系列的移位和加减运算来实现。
z应取[-ln2, ln2]范围内的值，否则应先预处理 z = z’– pln2, 求得cosh(z’)/sinh(z’)的值，则
cosh(z) = cosh(z’)cosh(pln2) + sinh(z’)sinh(pln2) = ½[cosh(z’) + sinh(z’)]2^p + ½[cosh(z’) – sinh(z’)]2^-p
sinh(z) = sinh(z’)cosh(pln2) + cosh(z’)sinh(pln2) = ½[cosh(z’) + sinh(z’)]2^p + ½[sinh(z’) – cosh(z’)]2^-p 。
sin/cos和sinh/cosh的计算是cordic算法的两个特例，cordic算法可描述如下:
给定初始值x(0), y(0), z(0),
x(k+1) = x(k) – ms(k)y(k)2^-q(m,k), y(k+1) = y(k) + s(k)x(k) 2^-q(m,k), z(k+1) = z(k) – s(k)d(k),
其中m表示模式，q(m,k) 为移位序列，s(k) 取+1或-1表示旋转方向，d(k) 为递进角度。
1.4、cordic的matlab 运算
以cos(a)/sin(a)计算为例，m = 1, x(0) = 1, y(0) = 0, z(0) = a, s(k) = sign(z(k)),移位序列q(1,k): 0, 1, 2, ..., 递进角度为d(k)=arctan(2^-q(1,k)) 。
下面是实现的matlab程序:
z = a;
x = 0.6072529350; % scaled cos(0)
y = 0; % sin(0)
for i = 1:k
signz = sign(z); % s(k) for rotation direction
xnew = x - signz*y*2^(-(i-1));
y = signz*x*2^(-(i-1)) + y;
x = xnew;
z = z - signz*atan(2^(-(i-1))); % atan(2^-(i-1)) is included in a look-up table
end
x的初始值为cos(arctan(1)), cos(arctan(2^-1)), ..., cos(arctan(2^-k) 的连积值，收敛为0.6072529350。
以cosh(a)/sinh(a)计算为例，m = -1, x(0) = 1, y(0) = 0, z(0) = a, s(k) = sign(z(k)),移位序列q(-1,k): 1, 2, 3, 4, 4, 5, ... (3n+1重复两次以保证收敛, 4, 13, 40, ...), 递进角度为d(k)=arctanh(2^-q(-1,k)) 。
通过对初始值和旋转方向s(k) 的选择，模式m=0可以计算乘法和除法; 模式m=1可以计算sin/cos/arcsin/arccos/arctan; 模式m=-1可直接计算sinh/cosh/exp/arctanh/ln/sqrt, 间接计算arcsinh/arccosh，参见[1]。
2、cordic的现实意义
由于具有频率精度高、转换时间短、频谱纯度高以及频率相位易编程等特点， 数控振荡器(nco)被广泛应用于软件无线电数字上、下变频以及各种频率和相位数字调制解调系统中。nco传统的实现方法主要有查表法、多项式展开法或近似法，但这些方法在速度、精度、资源方面难以兼顾。而采用cordic算法来实现超函数时，则无需使用乘法器，它只需要一个最小的查找表(lut)，利用简单的移位和相加运算，即可产生高精度的正余弦波形，尤其适合于fpga的实现。
数字控制振荡器(nco，numerical controlled oscillator)是软件无线电、直接数据频率合成器(dds，direct digital synthesizer)、快速傅立叶变换(fft，fast fourier transform)等的重要组成部分，同时也是决定其性能的主要因素之一，随着芯片集成度的提高、在信号处理、数字通信领域、调制解调、变频调速、制导控制、电力电子等方面得到越来越广泛的应用。
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