近朗伯光型LED透镜的光学设计
根据朗伯光源的特点，定义近朗伯光源函数，设计led透镜的光学模型，求得led的截面曲线方程，运用龙格库塔法求解方程并在matlab中使用多项式拟合获得相关数据及修正后的数据，通过tracepro仿真得到希望的led近朗伯光源封装模型数据及仿真效果。提出一种led近朗伯光源光学模型封装的简化设计方法。
朗伯光源是自然界广泛存在的一种光源，太阳、毛玻璃灯罩、积雪、白墙均可看作朗伯光源。led芯片本身就是朗伯光源，发光光束角2θ1/2为120°，由于光束角较大，其发光强度较低，且早期的芯片光电转换效率也较低，为获得较大的光强，需要设计led的封装透镜光学结构，控制led的出光光束角，将其光束集中在一定的方向，于是便出现了不同光束角如120°、90°、60°、30°等的led器件。光束角为120°的led朗伯光型光源各向同性，是较理想的光型。对应其他发光光束角的led器件，通常设计为近朗伯光源的封装光学透镜以期获得较好的出光光型。
目前led技术飞速发展，大功率led器件流明发光效率已达到100lm/w的较高水平。这些不同光束角的led器件作为局部定向信号或照明光源，其应用灵活、可选择性强，但其性价比仍然偏高。近朗伯光源器件的设计应用可减小led数量、增加节能效果、降低工程造价、提高led半导体光源的应用水平。
1. 朗伯光源
在光度学中，朗伯光源在某一方向上的发光强度iθ等于该光源发光面垂直方向上的发光强度io乘以方向角的余弦，如图1，朗伯体也称为余弦发射体，朗伯光源又称为余弦体光源。朗伯光源在θ角方向光强为
iθ=iocosθ
在led的许多应用中，人们希望led器件发光表现为朗伯光源特征。如led显示屏、led信号灯等，此时要求光源能在各个方向上的亮度一致。据光度学亮度定义如图2，对应朗伯光型的led光源在θ角方向亮度为
lθ=iθ/dscosθ=io/ds （2）
式中，l的单位为尼特，1nt=1cd/㎡；d为透镜厚度。
由式（2）知，任意方向的lθ=io/ds为一定值，故人眼在任意方向观看朗伯光源所感知的亮度是相同的，即所谓朗伯光源是各向同性光源。
通常led行业将led器件的光束角2θ1/2作为衡量光束发光角度标准。半值角θ1/2是指led发光强度值为轴向强度值一半时的发光方向与发光轴向（法向）的夹角。由式（1）知，iθ=io/2，cosθ=1/2，故朗伯型光源的出光光束角2θ1/2为120°。
2. 近朗伯光源
在led一些应用中，要求光束能集中在一定的方向上。如光束角2θ1/2为90°、60°、30°等的led器件，其光束角2θ1/2不等于120°，此时led器件发光不能表现为朗伯光源特征，但在led行业通常用朗伯光源来衡量led光源配光质量，于是出现了非理想余弦分布的近朗伯光源led器件，虽然亮度不能各向同性，但近朗伯光源也能表现出符合人眼视觉特征的某些特点，如光强分布曲线可导、亮度连续变化等，其光强分布函数可以表示为
iθ=iocosmθ （3）
根据光束角的定义，可以知道，当θ=θ1/2，有iθ=io/2，求解式（3）得
m=-ln2/［ln（cosθ1/2）］
根据不同的光束角，可以计算出相应的m值，并得到其光强分布函数曲线。当2θ1/2=90°时，m=2，光强分布函数为：iθ=iocos2θ；当2θ1/2=60°时，m=4.82，光强分布函数为：iθ=iocos4.82θ。依此类推，同样可以求得较常用的45°、30°等近朗伯光源的m值并获得其光强分布函数，图3是光束角2θ1/2分别为120°的朗伯，90°、60°近朗伯光源发光强度矩形分布图。
3. 近朗伯光型led透镜设计
在led器件外封设计时，理想情况下，通常假定led芯片发光为朗伯光源，不考虑透镜材料的吸收，透镜的光反射、散反射、散透射等因数，则led的出光特性主要是由封装材料的折射率、透镜的几何形状、芯片与透镜的相对位置来决定。基本光学模型及光路图见图4。
设芯片在a点，光线ab与光轴z夹角为θ，b点是θ角光线在透镜中的光出射点，b点坐标（z2，y2），y、z轴是距离为l的目标光场坐标轴，d为透镜厚度，设透镜折射率为n，空气折射率为l，根据折射定律，有：sinθ1=nsinθ1。曲线斜率即曲线的导数dy2/dz2=tanβ，结合折射定律，有
dy2/dz2=-（ncos:-cosu）/（nsin:-sinu） （4）
由图4可知y2=（d+z2）tanθ （5）
式（5）两端微分得y2值和θ值的关系
将u代入式（7），可以得到z2与θ的一一对应关系。dz2/dθ是一个复杂的微分方程。为得到z2=f（θ），需要运用数学方法进行处理，由图4可知，有初始条件θ=0，z2=0，根据初始条件以及已知的dz2/dθ方程式，在给定a以及透镜厚度d以后，以θ为自变量，设定一定的步长aθ，运用龙格库塔法或其他数学算法可解出一系列θ0，θ1，。..。，θn，以及与它们一一对应的z2值。再通过式（5）得到对应的y2值。在得到一系列的（z2，y2）以后，使用多项式拟合可得到平凸透镜的非球面截面曲线方程表达式
式中，c为多项式的常数项；i值大小视曲线拟合精度选取。确定ai值后导入tracepro软件可获得希望的光学模型及配光效果，下面是一个设计实例。
设封装高度即透镜厚度d=3.5mm，材料折射率n=1.53419，设计要求led器件的光束角2θ1/2为90°。运用龙格库塔法，在matlab中可以解出符合光束角2θ1/2=90°的光学模型截面曲线点数据集（z2，y2）见图5，截面曲线如图6。
从图5数据及图6可以发现y坐标存在内拐的情况。不难看出曲线的末端部分向内拐，在（z2，y2）数据集中，y值在到达ymax=y19后开始回归，按照这种结构设计的led塑封虽可达到希望的配光效果，但工艺上无法脱模。需要对曲线进行修正，去除内拐并给予一定的脱模斜度。修正后截面曲线见图7，此时led的出光分布发生了一些变化，不再与图3对应的配光曲线图严格吻合，而且角度越小，偏离得越多。这时需要对预期的出光分布进行修正，加入更多的朗伯影响因素，预期出光分布修正为
修正后重新运用龙格库塔法计算，得到一组（z2，y2）的数据如图8。对图8数据进行处理取c=0，i=8，使用式（8）在matlab中求解拟合多项式系数为：a1=-0.1729；a2=-0.0895；a3=0.1198；a4=-0.008289；a5=0.0304；a6=-0.006113；a7=0.0006357；a8=-2.679e-005。拟合曲线如图9，将所得数据代入tracepro中进行光学模拟。并对封装高度3。5mm做一定的微调，所得到配光曲线如图10所示。可以看出，所得到的光束角2θ1/2约90！，与上面的理想曲线基本相符合。
4. 近朗伯光型led的简化设计方法
根据led光学模型并利用数学处理方法，可得到精确的led包封结构设计数据，通过光学仿真和样板制作能达到预期的设计效果，然而以往的设计经验表明，可以通过简化光学模型，用球面取代复杂的非球面设计以得到更快速、更好控制的led模型数据。分析所得（z2，y2）数据集和拟合曲线可发现，曲线有近似圆的轨迹特征。用公式r=（z2+y2）/（2z）可求出各点圆半径r，虽然r大小不一致，却都趋向一个值。所以不妨采用球半径r的球面代替非球面，相信可以达到同样的效果，按照上述想法建立的led球面简化模型见图11。当芯片大小以及led外封的材料确定以后，影响其出光分布的就是顶部半球的球半径r以及底部高度h。下面对半球半径r对出光的影响进行分析，设定led外封微调后的总高度为3。7mm，r=2.6，h=1.1，在tracepro中建立一个图11所示的光学模型，运用tracepro对其模型进行光学仿真结果见图12，仿真所得的光束角2θ1/2约90°，与理想模型基本一致。
同样的方法也可以用到其他出光角度的led包封设计，使用简化模型方法设计方便快捷，早期的led包封一般都是半球结构，工艺上易于实现，该法是led行业广泛使用的一种led器件配光结构设计方法。
5. 结束语
朗伯及近朗伯光型是led行业通用标准的led封装配光光型，文中介绍了这种光源的led外封设计光学模型及数据处理方法，通过光学仿真能获得较好的设计效果。但实际led器件设计要考虑许多非理想条件，如芯片尺寸、安放位置偏差、材料吸收率、界面散射、反射、外封表面质量等因素，故实际结果与理论设计有一定的差异。通常需要对设计作出适当调整后才能得到准确的实际数据。
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目前led技术飞速发展，大功率led器件流明发光效率已达到100lm/w的较高水平。这些不同光束角的led器件作为局部定向信号或照明光源，其应用灵活、可选择性强，但其性价比仍然偏高。近朗伯光源器件的设计应用可减小led数量、增加节能效果、降低工程造价、提高led半导体光源的应用水平。
1. 朗伯光源
在光度学中，朗伯光源在某一方向上的发光强度iθ等于该光源发光面垂直方向上的发光强度io乘以方向角的余弦，如图1，朗伯体也称为余弦发射体，朗伯光源又称为余弦体光源。朗伯光源在θ角方向光强为
iθ=iocosθ
在led的许多应用中，人们希望led器件发光表现为朗伯光源特征。如led显示屏、led信号灯等，此时要求光源能在各个方向上的亮度一致。据光度学亮度定义如图2，对应朗伯光型的led光源在θ角方向亮度为
lθ=iθ/dscosθ=io/ds （2）
式中，l的单位为尼特，1nt=1cd/㎡；d为透镜厚度。
由式（2）知，任意方向的lθ=io/ds为一定值，故人眼在任意方向观看朗伯光源所感知的亮度是相同的，即所谓朗伯光源是各向同性光源。
通常led行业将led器件的光束角2θ1/2作为衡量光束发光角度标准。半值角θ1/2是指led发光强度值为轴向强度值一半时的发光方向与发光轴向（法向）的夹角。由式（1）知，iθ=io/2，cosθ=1/2，故朗伯型光源的出光光束角2θ1/2为120°。
2. 近朗伯光源
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式中，c为多项式的常数项；i值大小视曲线拟合精度选取。确定ai值后导入tracepro软件可获得希望的光学模型及配光效果，下面是一个设计实例。
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从图5数据及图6可以发现y坐标存在内拐的情况。不难看出曲线的末端部分向内拐，在（z2，y2）数据集中，y值在到达ymax=y19后开始回归，按照这种结构设计的led塑封虽可达到希望的配光效果，但工艺上无法脱模。需要对曲线进行修正，去除内拐并给予一定的脱模斜度。修正后截面曲线见图7，此时led的出光分布发生了一些变化，不再与图3对应的配光曲线图严格吻合，而且角度越小，偏离得越多。这时需要对预期的出光分布进行修正，加入更多的朗伯影响因素，预期出光分布修正为
修正后重新运用龙格库塔法计算，得到一组（z2，y2）的数据如图8。对图8数据进行处理取c=0，i=8，使用式（8）在matlab中求解拟合多项式系数为：a1=-0.1729；a2=-0.0895；a3=0.1198；a4=-0.008289；a5=0.0304；a6=-0.006113；a7=0.0006357；a8=-2.679e-005。拟合曲线如图9，将所得数据代入tracepro中进行光学模拟。并对封装高度3。5mm做一定的微调，所得到配光曲线如图10所示。可以看出，所得到的光束角2θ1/2约90！，与上面的理想曲线基本相符合。
4. 近朗伯光型led的简化设计方法
根据led光学模型并利用数学处理方法，可得到精确的led包封结构设计数据，通过光学仿真和样板制作能达到预期的设计效果，然而以往的设计经验表明，可以通过简化光学模型，用球面取代复杂的非球面设计以得到更快速、更好控制的led模型数据。分析所得（z2，y2）数据集和拟合曲线可发现，曲线有近似圆的轨迹特征。用公式r=（z2+y2）/（2z）可求出各点圆半径r，虽然r大小不一致，却都趋向一个值。所以不妨采用球半径r的球面代替非球面，相信可以达到同样的效果，按照上述想法建立的led球面简化模型见图11。当芯片大小以及led外封的材料确定以后，影响其出光分布的就是顶部半球的球半径r以及底部高度h。下面对半球半径r对出光的影响进行分析，设定led外封微调后的总高度为3。7mm，r=2.6，h=1.1，在tracepro中建立一个图11所示的光学模型，运用tracepro对其模型进行光学仿真结果见图12，仿真所得的光束角2θ1/2约90°，与理想模型基本一致。
同样的方法也可以用到其他出光角度的led包封设计，使用简化模型方法设计方便快捷，早期的led包封一般都是半球结构，工艺上易于实现，该法是led行业广泛使用的一种led器件配光结构设计方法。
5. 结束语
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