如何让滤波器响应灵敏度在频率ω0时达到最小
图1提供了滤波器部分的原理图，这是本文要讨论的主题。
图1：sallenkey二阶低通滤波器原理图。
网上有许多不同的滤波器设计包。有些要求用户指定滤波器阶数和响应类型，例如butterworth或bessel。其它则要求通带纹波和宽度，以及阻带衰减，然后自动选择响应类型。这些可能会针对噪声、电压范围、低功耗或其它参数来优化。
其它设计包提供了更多的灵活性，而不只是处理响应类型，它们可让用户指定每个二阶滤波器的品质因数q和谐振频率ω0（弧度/秒）。它们要求用户指定额外的参数组合来限定问题。这些参数可能包括dc增益和/或某些元件值。有了这些信息，就可以通过计算确定剩余的值。有时会提到q和ω0对元件容差的敏感性问题。众所周知，滤波器在ω0时的幅度响应表现出最大的变化，即使对于合适的q值也是如此，但是在单位dc增益（rf/rg = 0）的情况下，这种变化最小。这就要求c1 = 4·q2·c2，这对于q值较大时可能是有问题的。本文介绍的方法是当c1小于4·q2·c2时，如何让滤波器响应灵敏度在频率ω0时达到最小。
滤波器配置的响应由下式给出：
图2：以q和ω0值表示的滤波器响应。
为了方便，我们在求解元件值之前先定义一些术语。适用于设计的电容值范围受到尺寸、价格和容差的限制。因此，我们要控制电容比，也希望控制dc增益，它等于1+rf/rg。所以我们定义：
图3：定义本文公式中将使用的一些术语。
从公式（1）可以看出，真正起作用的是电阻rf和rg之比rr，而不是它们的绝对值。因此，一旦我们指定rr，就可以选择数值大的rf和rg，以便使功耗最小，或者选择数值小的rf和rg，以便使噪声最小。如果我们还指定了c1和c2，则cr也确定了。从这些值可以得出r1和r2：
图4：用c2、rr、cr、q和ω0计算r1和r2的值。有两组电阻值。
可实现性对rr和cr有一些约束要求。为确保平方根项及电阻r1和r2是实数，需要：
图5：所有滤波器的实现约束条件。
此外，从1/（2·q）中减去平方根项的r2的表达式必须是正数，我们将其称为减法根。另一个称为加法根。所以，对于减法根，总约束是：
图6：r2的减法根构成的滤波器的实现约束条件。
公式（5）将r1和r2限制到减法根的一个小范围的值。稍后我们会看到，我们希望避免使用减法根实现滤波器，因为对于给定的q、ω0、cr和rr，我们总是可以用加法根构建不太敏感的滤波器。
过去的设计中都是计算q相对于电阻和电容每个值变化的灵敏度。但这里采用的方法是计算在频率ω0处滤波器响应幅度的灵敏度，ω0是变化最大的频率。这六个元件中每一个的灵敏度表达如下，其中rr12=r2/r1：
图7：谐振时滤波器响应幅度对每个元件值的灵敏度。
找出灵敏度的平方和
下一步是找出这些灵敏度的平方和，这样就可以得到尽可能小的值。结果（除以2）是：
图8：谐振时滤波器对每个元件灵敏度的总和（除以2）。ctol项是电容与电阻容差的比值。
请注意术语ctol，这是电容容差与电阻容差的比值。例如，2.5％的电容容差和1％的电阻容差会得到2.5的ctol值。在这种情况下，ctol解释了电容值的更大变化。
我们希望确定公式的参数并消除rr12，它可以用cr和rr表示。此外，由公式（3）给出的r1和r2电阻对的两个根的单独表达式是很有用的。我们也借此机会切换到平方和的平方根，因为这与所有元件的总灵敏度成正比。最后，我们希望仅绘制元件值的可实现范围。由于正在使用的图形包不会在图中画出虚数值，因此我们将√（-1）分配给不可实现的滤波器：
图9：谐振时滤波器响应幅值的每个元件灵敏度的平方和（除以2）的根。它包括r2的加法和减法根表达式。r1和r2用cr和rr表示。如前所述，术语ctol也被采用。
图10显示随rr变化的各种cr值的滤波器的灵敏度。所示曲线的q = 10和ctol = 2.5，无论c2和ω0的绝对值如何，这些值都是有效的。实线是加法根灵敏度，虚线是减法根灵敏度。对于给定的cr值，这两个根的曲线颜色相同。
图10：被两部分滤波器分开的总灵敏度曲线，其中q = 10和ctol = 2.5，随着rr变化，各种cr值变化导致灵敏度变化。实曲线是加法根灵敏度，虚线是减法根灵敏度。对于给定的cr值，这两个根的曲线颜色相同。
从图中可以清楚看出几点。首先是给定cr的加法根的最小灵敏度总是小于相应的减法根的最小灵敏度。因此，我们不应该使用减法根的元件值构建滤波器。第二个观察结果是，一般来说，cr = c2/c1的值越小，可以实现的灵敏度就越低（更好）。第三，直觉可能会告诉我们，最好的解决方案是使用最小的rr值产生可实现的滤波器，但曲线显示并非这样。第四，底部的橙色水平实线是我们能达到的最好结果。它对应于单位dc增益，rf短路和/或rg开路，并对应于cr = .25·q-2，即c1 = 4·q2·c2。如果我们认为使cr值更小会进一步降低灵敏度的话，那么直觉再一次失败。当我们将cr设为.125·q-2时，橙色水平实线之上的橙色水平虚线会告诉真相。
我一直无法找到rr最佳值的闭合解——曲线的鞍点，即对给定的q、ω0、cr和ctol，滤波器的总灵敏度最小的位置。不过我提供了一个excel表，它可以精确地将这个值限定在0.1％以内。
各种滤波器设计的蒙特卡罗分析
如果不对图11和图12中的各种滤波器设计进行蒙特卡洛分析，本文就不算完整。响应曲线以20db的增量隔开，以便看得更清楚，而不会相互混淆。表1给出了图11曲线的元件值。这再次证明，对于元件灵敏度低的滤波器，减法根不是一个好的选择，同样电容也不是。我们还看到使用rr = rf/rg的最优值与较低和较高值进行比较的可取性。利用rf相对于rg的最优值，可以计算rr。
图11：各种滤波器设计的蒙特卡罗分析。
表1：图11中曲线的元件值。
图12：各种滤波器设计的蒙特卡洛分析，不同参数情况下的滤波器灵敏度存在差异，其中q = 10，ctol = 2.5，cr = c2/c1比值分别为0.316、0.0316和0.00316。
图12显示了q = 10，ctol = 2.5，而cr = c2/c1值分别为0.316、0.0316和0.00316时滤波器灵敏度的差异。这些已经用rr的最优值计算出来了。表2列出了所有的滤波器元件值。
表2：所有的滤波器元件值。
一些猜测
我们只探讨了q = 10和ctol = 2.5时的滤波器设计。这似乎是说，设计中r1和r2的值相当接近最佳rr值。这个推论对于q和ctol的所有值都正确吗？如果是这样，即便我们使r1和r2相等并计算出结果rr，灵敏度增加的可能也微乎其微。当然，闭合公式适用于所有元件。不过，有了excel表，目前的方法会得到最佳的灵敏度，而且很容易使用。
设计sallen key低通滤波器从指定q和ω0开始。sallen key滤波器谐振时使响应灵敏度最小化至元件值的黄金标准是选择单位dc增益，其中rf是短路和/或rg是开路。这要求c1 = 4·q2·c2。可以选择c2的值并计算c1。然后，r1和r2可以由公式（2）和（3）确定，其中r2应该选择加上而不是减去平方根。但对于高q的情况，这可能并不总是一个理想的方法。在这些情况下，应在c1/c2具有可接受的最大比值时才选择c2。设计中我们还需要知道电容容差与电阻容差的比值ctol。应该为这些值找到最佳比rr = rf/rg，使用前面提到的excel表也许能找到。excel表可以计算r1和r2，还可以选择任意rr值，为rg和rf，以及c1、c2、q和ω0指定自己期望的值。然后，excel表计算出r1和r2。
其它性能参数也可得到改善。使rf||rg = r1+r2，放大器偏置电流造成的失调将会最小。使c1||c2最大、rf||rg最小，元件阻抗和滤波噪声将会降至最低。使c最小、rf||rg最大，功耗会降至最低。
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图1：sallenkey二阶低通滤波器原理图。
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其它设计包提供了更多的灵活性，而不只是处理响应类型，它们可让用户指定每个二阶滤波器的品质因数q和谐振频率ω0（弧度/秒）。它们要求用户指定额外的参数组合来限定问题。这些参数可能包括dc增益和/或某些元件值。有了这些信息，就可以通过计算确定剩余的值。有时会提到q和ω0对元件容差的敏感性问题。众所周知，滤波器在ω0时的幅度响应表现出最大的变化，即使对于合适的q值也是如此，但是在单位dc增益（rf/rg = 0）的情况下，这种变化最小。这就要求c1 = 4·q2·c2，这对于q值较大时可能是有问题的。本文介绍的方法是当c1小于4·q2·c2时，如何让滤波器响应灵敏度在频率ω0时达到最小。
滤波器配置的响应由下式给出：
图2：以q和ω0值表示的滤波器响应。
为了方便，我们在求解元件值之前先定义一些术语。适用于设计的电容值范围受到尺寸、价格和容差的限制。因此，我们要控制电容比，也希望控制dc增益，它等于1+rf/rg。所以我们定义：
图3：定义本文公式中将使用的一些术语。
从公式（1）可以看出，真正起作用的是电阻rf和rg之比rr，而不是它们的绝对值。因此，一旦我们指定rr，就可以选择数值大的rf和rg，以便使功耗最小，或者选择数值小的rf和rg，以便使噪声最小。如果我们还指定了c1和c2，则cr也确定了。从这些值可以得出r1和r2：
图4：用c2、rr、cr、q和ω0计算r1和r2的值。有两组电阻值。
可实现性对rr和cr有一些约束要求。为确保平方根项及电阻r1和r2是实数，需要：
图5：所有滤波器的实现约束条件。
此外，从1/（2·q）中减去平方根项的r2的表达式必须是正数，我们将其称为减法根。另一个称为加法根。所以，对于减法根，总约束是：
图6：r2的减法根构成的滤波器的实现约束条件。
公式（5）将r1和r2限制到减法根的一个小范围的值。稍后我们会看到，我们希望避免使用减法根实现滤波器，因为对于给定的q、ω0、cr和rr，我们总是可以用加法根构建不太敏感的滤波器。
过去的设计中都是计算q相对于电阻和电容每个值变化的灵敏度。但这里采用的方法是计算在频率ω0处滤波器响应幅度的灵敏度，ω0是变化最大的频率。这六个元件中每一个的灵敏度表达如下，其中rr12=r2/r1：
图7：谐振时滤波器响应幅度对每个元件值的灵敏度。
找出灵敏度的平方和
下一步是找出这些灵敏度的平方和，这样就可以得到尽可能小的值。结果（除以2）是：
图8：谐振时滤波器对每个元件灵敏度的总和（除以2）。ctol项是电容与电阻容差的比值。
请注意术语ctol，这是电容容差与电阻容差的比值。例如，2.5％的电容容差和1％的电阻容差会得到2.5的ctol值。在这种情况下，ctol解释了电容值的更大变化。
我们希望确定公式的参数并消除rr12，它可以用cr和rr表示。此外，由公式（3）给出的r1和r2电阻对的两个根的单独表达式是很有用的。我们也借此机会切换到平方和的平方根，因为这与所有元件的总灵敏度成正比。最后，我们希望仅绘制元件值的可实现范围。由于正在使用的图形包不会在图中画出虚数值，因此我们将√（-1）分配给不可实现的滤波器：
图9：谐振时滤波器响应幅值的每个元件灵敏度的平方和（除以2）的根。它包括r2的加法和减法根表达式。r1和r2用cr和rr表示。如前所述，术语ctol也被采用。
图10显示随rr变化的各种cr值的滤波器的灵敏度。所示曲线的q = 10和ctol = 2.5，无论c2和ω0的绝对值如何，这些值都是有效的。实线是加法根灵敏度，虚线是减法根灵敏度。对于给定的cr值，这两个根的曲线颜色相同。
图10：被两部分滤波器分开的总灵敏度曲线，其中q = 10和ctol = 2.5，随着rr变化，各种cr值变化导致灵敏度变化。实曲线是加法根灵敏度，虚线是减法根灵敏度。对于给定的cr值，这两个根的曲线颜色相同。
从图中可以清楚看出几点。首先是给定cr的加法根的最小灵敏度总是小于相应的减法根的最小灵敏度。因此，我们不应该使用减法根的元件值构建滤波器。第二个观察结果是，一般来说，cr = c2/c1的值越小，可以实现的灵敏度就越低（更好）。第三，直觉可能会告诉我们，最好的解决方案是使用最小的rr值产生可实现的滤波器，但曲线显示并非这样。第四，底部的橙色水平实线是我们能达到的最好结果。它对应于单位dc增益，rf短路和/或rg开路，并对应于cr = .25·q-2，即c1 = 4·q2·c2。如果我们认为使cr值更小会进一步降低灵敏度的话，那么直觉再一次失败。当我们将cr设为.125·q-2时，橙色水平实线之上的橙色水平虚线会告诉真相。
我一直无法找到rr最佳值的闭合解——曲线的鞍点，即对给定的q、ω0、cr和ctol，滤波器的总灵敏度最小的位置。不过我提供了一个excel表，它可以精确地将这个值限定在0.1％以内。
各种滤波器设计的蒙特卡罗分析
如果不对图11和图12中的各种滤波器设计进行蒙特卡洛分析，本文就不算完整。响应曲线以20db的增量隔开，以便看得更清楚，而不会相互混淆。表1给出了图11曲线的元件值。这再次证明，对于元件灵敏度低的滤波器，减法根不是一个好的选择，同样电容也不是。我们还看到使用rr = rf/rg的最优值与较低和较高值进行比较的可取性。利用rf相对于rg的最优值，可以计算rr。
图11：各种滤波器设计的蒙特卡罗分析。
表1：图11中曲线的元件值。
图12：各种滤波器设计的蒙特卡洛分析，不同参数情况下的滤波器灵敏度存在差异，其中q = 10，ctol = 2.5，cr = c2/c1比值分别为0.316、0.0316和0.00316。
图12显示了q = 10，ctol = 2.5，而cr = c2/c1值分别为0.316、0.0316和0.00316时滤波器灵敏度的差异。这些已经用rr的最优值计算出来了。表2列出了所有的滤波器元件值。
表2：所有的滤波器元件值。
一些猜测
我们只探讨了q = 10和ctol = 2.5时的滤波器设计。这似乎是说，设计中r1和r2的值相当接近最佳rr值。这个推论对于q和ctol的所有值都正确吗？如果是这样，即便我们使r1和r2相等并计算出结果rr，灵敏度增加的可能也微乎其微。当然，闭合公式适用于所有元件。不过，有了excel表，目前的方法会得到最佳的灵敏度，而且很容易使用。
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其它性能参数也可得到改善。使rf||rg = r1+r2，放大器偏置电流造成的失调将会最小。使c1||c2最大、rf||rg最小，元件阻抗和滤波噪声将会降至最低。使c最小、rf||rg最大，功耗会降至最低。
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