电机运动控制算法之S速度曲线规划算法
转自 | 小麦大叔
搞过电机或运动控制的小伙伴应该知道，s曲线很重要，下面一张动图对比一下，你就知道s曲线的好处。
今天就给大家描述一下s速度曲线规划算法。
1 前言
s形加减速的最重要特征是该算法的加速度/减速度曲线的形状如字母 s。s形加减速的速度曲线平滑 ,从而能够减少对控制过程中的冲击，并使插补过程具有柔性 [^1]。由于t形曲线在加速到匀速的切换过程中，实际中存在较大过冲，因此这里对比一下t曲线和7段s曲线的实际过程；
t形：加速 -> 匀速 -> 减速
s形：加加速(t1) -> 匀加速(t2) -> 减加速(t3)-> 匀速(t4)-> 加减速(t5)-> 匀减速(t6)-> 减减速(t7)
上文在加速这块的文字描述可能读起来起来有点绕，下面看图：
2 理论分析
由于s曲线在加减速的过程中，其加速度是变化的，因此这里引入了新的一个变量 j，即加加速度。
因此对应上图的7段s速度曲线中，规定最大加速为amax，最小加速度为-amax，则加速度的关系；
所以通常需要确定三个最基本的系统参数 :系统最大速度umax ，最大加速度a_{max} ，加加速度，就可以可确定整个运行过程[^2] ；
最大速度：反映了系统的最大运行能力 ；
最大加速度：反映了系统的最大加减速能力 ；
加加速度：反映了系统的柔性；
柔性越大，过冲越大，运行时间越短；
柔性越小，过冲越小，运行时间越长；
2.1 加速度时间关系方程
整个加速度变化的过程具体如下图所示；
2.2 速度时间关系方程
速度和加速度满足 ；加加速度和速度的关系满足：
结合加速度时间关系并结合② 式可以得到速度曲线关系，具体关系如下图所示；
进一步简化可以得到：
2.3 位移时间关系方程
积分忘的差不多了，回去再复习一下；
最终位移的方程如下所示；
3 程序实现的思路
正如前面所提到的，s曲线规划需要确定三个最基本的系统参数 ：系统最大速度 ，最大加速度a_{max} ，加加速度，这样就可以确定这个运行过程。这里有一个隐性的条件，就是在运行的过程中可以达到最大速度，这样才是完整的7段s曲线，另外这里还有一些中间参数：
4 matlab 程序
matlab程序亲测可以运行，做了简单的修改，因为这里直接给定了整个运行过程的时间，所以需要在scurvepara函数中求出加加速度 的值，路程为 1：
scurvepara
function [tf1,v,a,j,t] = scurvepara(tf, v, a) t = zeros(1,7);for i=1:1000 % 加加速度 j j = (a^2 * v) / (tf*v*a - v^2 - a); % tk t(1) = a / j; t(2) = v / a - a / j; % t2 = v / a - t1; t(3) = t(1); t(4) = tf - 2 * a / j - 2 * v / a; % t4 = tf - 4*t1 - 2*t2; t(5) = t(3); t(6) = t(2); t(7) = t(1); % 根据t2和t4判断s曲线的类型 if t(2) < -1e-6 a = sqrt(v*j); display('t2<0'); elseif t(4) < -1e-6 v = tf*a/2 - a*a/j; display('t4<0'); elseif j < -1e-6 tf = (v^2 + a) / (v*a) + 1e-1; display('j= 0 && t t(1) && t t(1)+t(2) && t t(1)+t(2)+t(3) && t t(1)+t(2)+t(3)+t(4) && t t(1)+t(2)+t(3)+t(4)+t(5) && t t(1)+t(2)+t(3)+t(4)+t(5)+t(6) && t 1 sd(i-1) = (s(i) - s(i-1)) / dt; end if i>2 sdd(i-2) = (sd(i-1) - sd(i-2)) / dt; endendsubplot(3,1,1);legend('theta');xlabel('t');subplot(3,1,1);plot(t,s)legend('位移');xlabel('t');title('位置曲线');subplot(3,1,2);plot(t,sd);legend('速度');xlabel('t');title('速度曲线');subplot(3,1,3);plot(t,sdd);legend('加速度');xlabel('t');title('加速度曲线');
看到最终仿真结果和预期相同；
最后再看一下t形和s形速度曲线规划的效果对比：
5 总结
本文只对7段的s曲线规划做了详细的推导和介绍，matlab中的程序对于4段和5段都有做实现，很多是在理想情况下进行推导的，初始速度默认为0，终止速度也为0，并且假设加减速区域相互对称。最终运行结果符合预期效果。
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1 前言
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t形：加速 -> 匀速 -> 减速
s形：加加速(t1) -> 匀加速(t2) -> 减加速(t3)-> 匀速(t4)-> 加减速(t5)-> 匀减速(t6)-> 减减速(t7)
上文在加速这块的文字描述可能读起来起来有点绕，下面看图：
2 理论分析
由于s曲线在加减速的过程中，其加速度是变化的，因此这里引入了新的一个变量 j，即加加速度。
因此对应上图的7段s速度曲线中，规定最大加速为amax，最小加速度为-amax，则加速度的关系；
所以通常需要确定三个最基本的系统参数 :系统最大速度umax ，最大加速度a_{max} ，加加速度，就可以可确定整个运行过程[^2] ；
最大速度：反映了系统的最大运行能力 ；
最大加速度：反映了系统的最大加减速能力 ；
加加速度：反映了系统的柔性；
柔性越大，过冲越大，运行时间越短；
柔性越小，过冲越小，运行时间越长；
2.1 加速度时间关系方程
整个加速度变化的过程具体如下图所示；
2.2 速度时间关系方程
速度和加速度满足 ；加加速度和速度的关系满足：
结合加速度时间关系并结合② 式可以得到速度曲线关系，具体关系如下图所示；
进一步简化可以得到：
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积分忘的差不多了，回去再复习一下；
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正如前面所提到的，s曲线规划需要确定三个最基本的系统参数 ：系统最大速度 ，最大加速度a_{max} ，加加速度，这样就可以确定这个运行过程。这里有一个隐性的条件，就是在运行的过程中可以达到最大速度，这样才是完整的7段s曲线，另外这里还有一些中间参数：
4 matlab 程序
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scurvepara
function [tf1,v,a,j,t] = scurvepara(tf, v, a) t = zeros(1,7);for i=1:1000 % 加加速度 j j = (a^2 * v) / (tf*v*a - v^2 - a); % tk t(1) = a / j; t(2) = v / a - a / j; % t2 = v / a - t1; t(3) = t(1); t(4) = tf - 2 * a / j - 2 * v / a; % t4 = tf - 4*t1 - 2*t2; t(5) = t(3); t(6) = t(2); t(7) = t(1); % 根据t2和t4判断s曲线的类型 if t(2) < -1e-6 a = sqrt(v*j); display('t2<0'); elseif t(4) < -1e-6 v = tf*a/2 - a*a/j; display('t4<0'); elseif j < -1e-6 tf = (v^2 + a) / (v*a) + 1e-1; display('j= 0 && t t(1) && t t(1)+t(2) && t t(1)+t(2)+t(3) && t t(1)+t(2)+t(3)+t(4) && t t(1)+t(2)+t(3)+t(4)+t(5) && t t(1)+t(2)+t(3)+t(4)+t(5)+t(6) && t 1 sd(i-1) = (s(i) - s(i-1)) / dt; end if i>2 sdd(i-2) = (sd(i-1) - sd(i-2)) / dt; endendsubplot(3,1,1);legend('theta');xlabel('t');subplot(3,1,1);plot(t,s)legend('位移');xlabel('t');title('位置曲线');subplot(3,1,2);plot(t,sd);legend('速度');xlabel('t');title('速度曲线');subplot(3,1,3);plot(t,sdd);legend('加速度');xlabel('t');title('加速度曲线');
看到最终仿真结果和预期相同；
最后再看一下t形和s形速度曲线规划的效果对比：
5 总结
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