GMM-HMM语音识别原理详解
本文简明讲述gmm-hmm在语音识别上的原理，建模和测试过程。
1. 什么是hidden markov model？
hmm要解决的三个问题：
1） likelihood
2） decoding
3） training
2. gmm是什么？怎样用gmm求某一音素（phoneme）的概率？
3. gmm+hmm大法解决语音识别
3.1 识别
3.2 训练
3.2.1 training the params of gmm
3.2.2 training the params of hmm
====================================================================
1. 什么是hidden markov model？
ans：一个有隐节点（unobservable）和可见节点（visible）的马尔科夫过程（见详解）。
隐节点表示状态，可见节点表示我们听到的语音或者看到的时序信号。
最开始时，我们指定这个hmm的结构，训练hmm模型时：给定n个时序信号y1...yt（训练样本）， 用mle（typically implemented in em） 估计参数：
1. n个状态的初始概率
2. 状态转移概率a
3. 输出概率b
--------------
在语音处理中，一个word由若干phoneme（音素）组成；
每个hmm对应于一个word或者音素（phoneme）
一个word表示成若干states，每个state表示为一个音素
用hmm需要解决3个问题：
1） likelihood： 一个hmm生成一串observation序列x的概率
其中，αt（sj）表示hmm在时刻t处于状态j，且observation = {x1，。。.，xt}的概率
，
aij是状态i到状态j的转移概率，
bj（xt）表示在状态j的时候生成xt的概率，
2）decoding： 给定一串observation序列x，找出最可能从属的hmm状态序列
在实际计算中会做剪枝，不是计算每个可能state序列的probability，而是用viterbi approximation：
从时刻1：t，只记录转移概率最大的state和概率。
记vt（si）为从时刻t-1的所有状态转移到时刻t时状态为j的最大概率：
记为：从时刻t-1的哪个状态转移到时刻t时状态为j的概率最大；
进行viterbi approximation过程如下：
然后根据记录的最可能转移状态序列进行回溯：
3）training： 给定一个observation序列x，训练出hmm参数λ = {aij， bij} the em （forward-backward） algorithm
这部分我们放到“3. gmm+hmm大法解决语音识别”中和gmm的training一起讲
---------------------------------------------------------------------
2. gmm是什么？怎样用gmm求某一音素（phoneme）的概率？
2.1 简单理解混合高斯模型就是几个高斯的叠加...e.g. k=3
fig2. gmm illustration and the probability of x
2.2 gmm for state sequence
每个state有一个gmm，包含k个高斯模型参数。如”hi“（k=3）：
ps：sil表示silence（静音）
fig3. use gmm to estimate the probability of a state sequence given observation {o1， o2， o3}
其中，每个gmm有一些参数，就是我们要train的输出概率参数
fig4. parameters of a gmm
怎么求呢？和kmeans类似，如果已知每个点x^n属于某每类 j 的概率p（j|x^n），则可以估计其参数：
其中
只要已知了这些参数，我们就可以在predict（识别）时在给定input sequence的情况下，计算出一串状态转移的概率。如上图要计算的state sequence 1->2->2概率：
fig5. probability of s1->s2->s3 given o1->o2->o3
---------------------------------------------------------------------
3. gmm+hmm大法解决语音识别
我们获得observation是语音waveform， 以下是一个词识别全过程：
1）将waveform切成等长frames，对每个frame提取特征（e.g. mfcc），
2）对每个frame的特征跑gmm，得到每个frame（o_i）属于每个状态的概率b_state（o_i）
fig6. complete process from speech frames to a state sequence
3）根据每个单词的hmm状态转移概率a计算每个状态sequence生成该frame的概率; 哪个词的hmm 序列跑出来概率最大，就判断这段语音属于该词
宏观图：
fig7. speech recognition， a big framework
好了，上面说了怎么做识别。那么我们怎样训练这个模型以得到每个gmm的参数和hmm的转移概率什么的呢？
①training the params of gmm
gmm参数：高斯分布参数：
从上面fig4下面的公式我们已经可以看出来想求参数必须要知道p（j|x），即，x属于第j个高斯的概率。怎么求捏？
fig8. bayesian formula of p（ j | x ）
根据上图 p（j | x）， 我们需要求p（x|j）和p（j）去估计p（j|x）。
这里由于p（x|j）和p（j）都不知道，需要用em算法迭代估计以最大化p（x） = p（x1）*p（x2）*.。.*p（xn）：
a. 初始化（可以用kmeans）得到p（j）
b. 迭代
e（estimate）-step： 根据当前参数 （means， variances， mixing parameters）估计p（j|x）
m（maximization）-step： 根据当前p（j|x） 计算gmm参数（根据fig4 下面的公式：）
其中
②training the params of hmm
前面已经有了gmm的training过程。在这一步，我们的目标是：从observation序列中估计hmm参数λ；
假设状态->observation服从单核高斯概率分布：
则λ由两部分组成：
hmm训练过程：迭代
e（estimate）-step： 给定observation序列，估计时刻t处于状态sj的概率
m（maximization）-step： 根据重新估计hmm参数aij.
其中，
e-step： 给定observation序列，估计时刻t处于状态sj的概率
为了估计， 定义： t时刻处于状态sj的话，t时刻未来observation的概率。即
这个可以递归计算：β_t（si）=从状态 si 转移到其他状态 sj 的概率aij * 状态 i 下观测到x_{t+1}的概率bi（x_{t+1}） * t时刻处于状态sj的话{t+1}后observation概率β_{t+1}（sj）
即：
定义刚才的为state occupation probability，表示给定observation序列，时刻t处于状态sj的概率p（s（t）=sj | x，λ） 。根据贝叶斯公式p（a|b，c） = p（a，b|c）/p（b|c），有：
由于分子p（a，b|c）为
其中，αt（sj）表示hmm在时刻t处于状态j，且observation = {x1，。。.，xt}的概率；
： t时刻处于状态sj的话，t时刻未来observation的概率；
且
finally， 带入的定义式有：
好，终于搞定！对应上面的e-step目标，只要给定了observation和当前hmm参数 λ，我们就可以估计了对吧 （*^__^*）
m-step：根据重新估计hmm参数λ：
对于λ中高斯参数部分，和gmm的m-step是一样一样的（只不过这里写成向量形式）：
对于λ中的状态转移概率aij， 定义c（si->sj）为从状态si转到sj的次数，有
实际计算时，定义每一时刻的转移概率为时刻t从si->sj的概率：
那么就有：
把hmm的em迭代过程和要求的参数写专业点，就是这样的：
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1） likelihood
2） decoding
3） training
2. gmm是什么？怎样用gmm求某一音素（phoneme）的概率？
3. gmm+hmm大法解决语音识别
3.1 识别
3.2 训练
3.2.1 training the params of gmm
3.2.2 training the params of hmm
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1. 什么是hidden markov model？
ans：一个有隐节点（unobservable）和可见节点（visible）的马尔科夫过程（见详解）。
隐节点表示状态，可见节点表示我们听到的语音或者看到的时序信号。
最开始时，我们指定这个hmm的结构，训练hmm模型时：给定n个时序信号y1...yt（训练样本）， 用mle（typically implemented in em） 估计参数：
1. n个状态的初始概率
2. 状态转移概率a
3. 输出概率b
--------------
在语音处理中，一个word由若干phoneme（音素）组成；
每个hmm对应于一个word或者音素（phoneme）
一个word表示成若干states，每个state表示为一个音素
用hmm需要解决3个问题：
1） likelihood： 一个hmm生成一串observation序列x的概率
其中，αt（sj）表示hmm在时刻t处于状态j，且observation = {x1，。。.，xt}的概率
，
aij是状态i到状态j的转移概率，
bj（xt）表示在状态j的时候生成xt的概率，
2）decoding： 给定一串observation序列x，找出最可能从属的hmm状态序列
在实际计算中会做剪枝，不是计算每个可能state序列的probability，而是用viterbi approximation：
从时刻1：t，只记录转移概率最大的state和概率。
记vt（si）为从时刻t-1的所有状态转移到时刻t时状态为j的最大概率：
记为：从时刻t-1的哪个状态转移到时刻t时状态为j的概率最大；
进行viterbi approximation过程如下：
然后根据记录的最可能转移状态序列进行回溯：
3）training： 给定一个observation序列x，训练出hmm参数λ = {aij， bij} the em （forward-backward） algorithm
这部分我们放到“3. gmm+hmm大法解决语音识别”中和gmm的training一起讲
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2. gmm是什么？怎样用gmm求某一音素（phoneme）的概率？
2.1 简单理解混合高斯模型就是几个高斯的叠加...e.g. k=3
fig2. gmm illustration and the probability of x
2.2 gmm for state sequence
每个state有一个gmm，包含k个高斯模型参数。如”hi“（k=3）：
ps：sil表示silence（静音）
fig3. use gmm to estimate the probability of a state sequence given observation {o1， o2， o3}
其中，每个gmm有一些参数，就是我们要train的输出概率参数
fig4. parameters of a gmm
怎么求呢？和kmeans类似，如果已知每个点x^n属于某每类 j 的概率p（j|x^n），则可以估计其参数：
其中
只要已知了这些参数，我们就可以在predict（识别）时在给定input sequence的情况下，计算出一串状态转移的概率。如上图要计算的state sequence 1->2->2概率：
fig5. probability of s1->s2->s3 given o1->o2->o3
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3. gmm+hmm大法解决语音识别
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1）将waveform切成等长frames，对每个frame提取特征（e.g. mfcc），
2）对每个frame的特征跑gmm，得到每个frame（o_i）属于每个状态的概率b_state（o_i）
fig6. complete process from speech frames to a state sequence
3）根据每个单词的hmm状态转移概率a计算每个状态sequence生成该frame的概率; 哪个词的hmm 序列跑出来概率最大，就判断这段语音属于该词
宏观图：
fig7. speech recognition， a big framework
好了，上面说了怎么做识别。那么我们怎样训练这个模型以得到每个gmm的参数和hmm的转移概率什么的呢？
①training the params of gmm
gmm参数：高斯分布参数：
从上面fig4下面的公式我们已经可以看出来想求参数必须要知道p（j|x），即，x属于第j个高斯的概率。怎么求捏？
fig8. bayesian formula of p（ j | x ）
根据上图 p（j | x）， 我们需要求p（x|j）和p（j）去估计p（j|x）。
这里由于p（x|j）和p（j）都不知道，需要用em算法迭代估计以最大化p（x） = p（x1）*p（x2）*.。.*p（xn）：
a. 初始化（可以用kmeans）得到p（j）
b. 迭代
e（estimate）-step： 根据当前参数 （means， variances， mixing parameters）估计p（j|x）
m（maximization）-step： 根据当前p（j|x） 计算gmm参数（根据fig4 下面的公式：）
其中
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则λ由两部分组成：
hmm训练过程：迭代
e（estimate）-step： 给定observation序列，估计时刻t处于状态sj的概率
m（maximization）-step： 根据重新估计hmm参数aij.
其中，
e-step： 给定observation序列，估计时刻t处于状态sj的概率
为了估计， 定义： t时刻处于状态sj的话，t时刻未来observation的概率。即
这个可以递归计算：β_t（si）=从状态 si 转移到其他状态 sj 的概率aij * 状态 i 下观测到x_{t+1}的概率bi（x_{t+1}） * t时刻处于状态sj的话{t+1}后observation概率β_{t+1}（sj）
即：
定义刚才的为state occupation probability，表示给定observation序列，时刻t处于状态sj的概率p（s（t）=sj | x，λ） 。根据贝叶斯公式p（a|b，c） = p（a，b|c）/p（b|c），有：
由于分子p（a，b|c）为
其中，αt（sj）表示hmm在时刻t处于状态j，且observation = {x1，。。.，xt}的概率；
： t时刻处于状态sj的话，t时刻未来observation的概率；
且
finally， 带入的定义式有：
好，终于搞定！对应上面的e-step目标，只要给定了observation和当前hmm参数 λ，我们就可以估计了对吧 （*^__^*）
m-step：根据重新估计hmm参数λ：
对于λ中高斯参数部分，和gmm的m-step是一样一样的（只不过这里写成向量形式）：
对于λ中的状态转移概率aij， 定义c（si->sj）为从状态si转到sj的次数，有
实际计算时，定义每一时刻的转移概率为时刻t从si->sj的概率：
那么就有：
把hmm的em迭代过程和要求的参数写专业点，就是这样的：
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