带你重新认识了一下真正的PID

网上关于pid算法的文章很多，但是感觉有必要自己再进行一次总结，抽丝剥茧地重新认识了一下pid；
1 前言
2 开环控制
3 闭环控制
4 pid
4.1 系统架构
4.2 理论基础
4.3 离散化
4.4 伪算法
5 c++实现
6 总结
1 前言
控制系统通常根据有没有反馈会分为开环系统和闭环系统，在闭环系统的控制中，pid算法非常强大，其三个部分分别为；
p：比例环节；
i：积分环节；
d：微分环节；
pid算法可以自动对控制系统进行准确且迅速的校正，因此被广泛地应用于工业控制系统。
2 开环控制
首先来看开环控制系统，如下图所示，隆哥蒙着眼，需要走到虚线旗帜所表示的目标位置，由于缺少反馈（眼睛可以感知当前距离和位置，由于眼睛被蒙上没有反馈，所以这也是一个开环系统），最终隆哥会较大概率偏离预期的目标，可能会运行到途中实线旗帜所表示的位置。
开环系统的整体结构如下所示；
这里做一个不是很恰当的比喻；
input：告诉隆哥目标距离的直线位置（10米）；
controller：隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步；
process：双腿作为执行机构，输出了相应的步数，但是最终仍然偏离了目标；
看来没有反馈的存在，很难准确到达目标位置。
3 闭环控制
所以为了准确到达目标位置，这里就需要引入反馈，具体如下图所示；
在这里继续举个不怎么恰当的比喻；隆哥重获光明之后，基本可以看到目标位置了；
第一步input：告诉隆哥目标距离的直线位置（10米）；
第二步controller：隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步；
第三步process：双腿作为执行机构，输出了相应的步数，但是最终仍然偏离了目标；
第四步feedback：通过视觉获取到目前已经前进的距离，（比如前进了2米，那么还有8米的偏差）；
第五步err：根据偏差重新计算所需要的步数，然后重复上述四个步骤，最终隆哥达到最终的目标位置。
4 pid
4.1 系统架构
虽然在反馈系统下，隆哥最终到达目标位置，但是现在又来了新的任务，就是又快又准地到达目标位置。所以这里隆哥开始采用pid controller，只要适当调整p，i和d的参数，就可以到达目标位置，具体如下图所示；
隆哥为了最短时间内到达目标位置，进行了不断的尝试，分别出现了以下几种情况；
跑得太快，最终导致冲过了目标位置还得往回跑；
跑得太慢，最终导致到达目标位置所用时间太长；
经过不断的尝试，终于找到了最佳的方式，其过程大概如下图所示；
这里依然举一个不是很恰当的比喻；
第一步：得到与目标位置的距离偏差（比如最开始是10米，后面会逐渐变小）；
第二步：根据误差，预估需要多少速度，如何估算呢，看下面几步；
p比例则是给定一个速度的大致范围，满足下面这个公式；
因此比例作用相当于某一时刻的偏差（err）与比例系数的乘积，具体如下所示；
比例作用
绿色线为上述例子中从初始位置到目标位置的距离变化；红色线为上述例子中从初始位置到目标位置的偏差变化，两者为互补的关系；
i积分则是误差在一定时间内的和，满足以下公式；
如下图所示；
红色曲线阴影部分面积即为积分作用的结果，其不断累积的误差，最终乘以积分系数就得到了积分部分的输出；
d微分则是误差变化曲线某处的导数，或者说是某一点的斜率，因此这里需要引入微分；
从图中可知，当偏差变化过快，微分环节会输出较大的负数，作为抑制输出继续上升，从而抑制过冲。
综上，，分别增加其中一项参数会对系统造成的影响总结如下表所示；
参数上升时间超调量响应时间稳态误差稳定性
kp 减少增加小变化减少降级
ki 减少增加增加消除降级
kd 微小的变化减少减少理论上没有影响小，稳定性会提升
4.2 理论基础
上面扯了这么多，无非是为了初步理解pid在负反馈系统中的调节作用，下面开始推导一下算法实现的具体过程；pid控制器的系统框图如下所示；
图片来自wiki
因此不难得出输入和输出的关系；
是比例增益；是积分增益；是微分增益；
4.3 离散化
在数字系统中进行pid算法控制，需要对上述算法进行离散化；假设系统采样时间为则将输入序列化得到；
将输出序列化得到；
比例项：离散化
积分项：
微分项：
所以最终可以得到式①，也就是网上所说的位置式pid：
将式①再做一下简化；
最终得到增量式pid的离散公式如下：
4.4 伪算法
这里简单总结一下增量式pid实现的伪算法；
previous_error:=0//上一次偏差 integral:=0//积分和 //循环 //采样周期为dt loop: //setpoint设定值 //measured_value反馈值 error:=setpoint−measured_value//计算得到偏差 integral:=integral+error×dt//计算得到积分累加和 derivative:=(error−previous_error)/dt//计算得到微分 output:=kp×error+ki×integral+kd×derivative//计算得到pid输出 previous_error:=error//保存当前偏差为下一次采样时所需要的历史偏差 wait(dt)//等待下一次采用 gotoloop
5 c++实现
这里是增量式pid算法的c语言实现；
pid.cpp
#ifndef_pid_source_ #define_pid_source_ #include #include #includepid.h usingnamespacestd; classpidimpl { public: pidimpl(doubledt,doublemax,doublemin,doublekp,doublekd,doubleki); ~pidimpl(); doublecalculate(doublesetpoint,doublepv); private: double_dt; double_max; double_min; double_kp; double_kd; double_ki; double_pre_error; double_integral; }; pid::pid(doubledt,doublemax,doublemin,doublekp,doublekd,doubleki) { pimpl=newpidimpl(dt,max,min,kp,kd,ki); } doublepid::calculate(doublesetpoint,doublepv) { returnpimpl->calculate(setpoint,pv); } pid::~pid() { deletepimpl; } /** *implementation */ pidimpl::pidimpl(doubledt,doublemax,doublemin,doublekp,doublekd,doubleki): _dt(dt), _max(max), _min(min), _kp(kp), _kd(kd), _ki(ki), _pre_error(0), _integral(0) { } doublepidimpl::calculate(doublesetpoint,doublepv) { //calculateerror doubleerror=setpoint-pv; //proportionalterm doublepout=_kp*error; //integralterm _integral+=error*_dt; doubleiout=_ki*_integral; //derivativeterm doublederivative=(error-_pre_error)/_dt; doubledout=_kd*derivative; //calculatetotaloutput doubleoutput=pout+iout+dout; //restricttomax/min if(output>_max) output=_max; elseif(output<_min) output=_min; //saveerrortopreviouserror _pre_error=error; returnoutput; } pidimpl::~pidimpl() { } #endif
pid.h
#ifndef_pid_h_ #define_pid_h_ classpidimpl; classpid { public: //kp-proportionalgain //ki-integralgain //kd-derivativegain //dt-loopintervaltime //max-maximumvalueofmanipulatedvariable //min-minimumvalueofmanipulatedvariable pid(doubledt,doublemax,doublemin,doublekp,doublekd,doubleki); //returnsthemanipulatedvariablegivenasetpointandcurrentprocessvalue doublecalculate(doublesetpoint,doublepv); ~pid(); private: pidimpl*pimpl; }; #endif
pid_example.cpp
#includepid.h #include intmain(){ pidpid=pid(0.1,100,-100,0.1,0.01,0.5); doubleval=20; for(inti=0;i<100;i++){ doubleinc=pid.calculate(0,val); printf(val:%7.3finc:%7.3f ,val,inc); val+=inc; } return0; }
编译并测试；
g++-cpid.cpp-opid.o #tocompileexamplecode: g++pid_example.cpppid.o-opid_example
6 总结
本文总结了pid控制器算法在闭环系统中根据偏差变化的具体调节作用，每个环节可能对系统输出造成什么样的变化，给出了位置式和增量式离散pid算法的推导过程，并给出了位置式算法的c++程序实现。
由于作者能力和水平有限，文中难免存在错误和纰漏，请不吝赐教。