偶数阶勒让德滤波器的设计介绍
这篇文章推导了偶数阶勒让德滤波器(l滤波器, pupoulis滤波器)的设计，方法几乎和pupoulis的一模一样，但是作为pupoulis滤波器的补充是非常有必要介绍本篇论文的。
optimum filters of even orders with monotonic response*
偶数阶单调响应的最优滤波器*
minoru fukada
自从收到本文后，pupoulis关于同一问题的类似解决方案已经作为一封给编辑的信件出现在ire的会议记录中。尽管fukada在提交他的论文时并不知道这个先前的公开信息，但是因为fukada的处理包含了更多的细节并且包括了计算响应曲线，我们决定它仍然值得发表。—编辑
引言
papoulis开发了一类新的滤波器（滤波器），在单调递减的频响下具有最大截止率。这类滤波器在阻带中的衰减比同阶的butterworth滤波器更大，但由于其频率响应中的单调性质，它仍然保持了尚可的时域响应。papoulis给出了奇数阶(odd degree)最优多项式的公式，从中推导出这些滤波器。本文的目的是给出偶数阶(even degree)最优多项式的一般公式，并表明从这些多项式中，滤波器实际上是可以被实现出来的。
偶数阶的滤波器
一个没有有限零点的滤波器的幅度特性可以写成以下形式：
其中是一个在上的阶数为，且有实系数的多项式。如果随着的增加而单调增加，那么的单调性要求就可以被满足。因此，滤波器的问题是确定一个在上的阶数为的正递增多项式，使得在点的斜率最大。数学上，我们可以通过以下等式来定义这个问题:
以及是最大的。
对于奇数的，解已经由papoulis给出；因此，下面的讨论将仅限于偶数的
其中，由在截止频率处的指定衰减所定。网络函数可以通过常规方法确定。设为幅度等于的网络函数。然后我们有
从中我们获得了左半平面极点的。参考图3的情况，我们有
从这个关系式我们得到，并将连分数展开，我们获得无耗梯形网络实现。在下面的例子中，我们将取，使得在处产生的衰减。
特殊情况
由公式(7)我们得到
因此，由公式(6)我们得到
这表明二阶的滤波器退化为滤波器(译注：这里指butterworth滤波器)。
由公式(8)和公式(6)我们得到，
多项式及其结果的幅频响应分别在图1和图2中绘制。的极点由下式给出
从中我们得到
的极点和梯形网络实现如图3所示。
因此，
多项式及其结果的幅度响应分别在图4和图5中绘制。的极点由下式给出
从中我们得到
其中，
的极点和梯形网络实现如图6所示。
到
结合papoulis的结果和这里提供的结果，我们可以得到所有多项式的表格。表1列出了时的所有多项式，以及作为一个衡量标准。
表 1
2 4
3 8
4 12
5 18
6 24
7 32
结论
在上述处理过程中，我们给出了偶次最优多项式的表达式；然而，这些网络函数的极值并未以解析形式确定。在综合步骤中，确定极值所需的数值计算是冗繁的，因此，找到这个问题的答案十分重要。
附录
要确定多项式在(3)和(4)中的形式，我们需要解决以下问题。考虑偶次多项式，它的次数，满足
在这里需要确定多项式，其斜率
最大。有
我们得到
由于非负，其在区间内的所有根都是重根。因此，可以将其写成如下形式
其中是一个没有内部根的奇次多项式，
如果不是线性形式，那么它的次数至少是三。然而，可以证明这是不可能的。因此，应为线性形式，而且从(17)很明显，中的常数项是正的，可以被认为是1。然后，
其中
由于会导致，所以可以排除。如果，我们可以选择足够小的，使得
同时
我们得到
多项式的导数
在点处的值将由下式给出：
这是不可能的。因此，或
因此
为了确定多项式的次数，我们首先将其展开成第一类legendre多项式的级数，
现在，(13)和(14)变为
和
形成一个函数，满足
然后我们的问题就是确定满足以下等式的(译注：这里使用了拉格朗日乘数法[method of lagrange multipliers]求约束条件下的极值问题)。
因此，
其中
和
在上述的计算中，我们使用了legendre多项式的正交关系
和递归公式，
式(31)的解如下所示：
情况
情况
然后，由于(33)中的项
为0，我们得到
因此，
常数可以从(28)方便地求出，
可以通过一个变换从得到(译注：这里是一个简单的线性变换，可以理解为一个线性函数, ，那么即可求出)
由此可以很容易地得到(6)到。
致谢
作者想要表达对papoulis教授的感谢，因为他关于滤波器的文章，本工作基本上是依据他的方法进行开发的。
参考文献
manuscript received by the pgct, december 8, 1958 .
yokogawa elec. works, ltd., musashinu-shi, tokyo, japan.
[1]: a. papoulis, “on monotonic response filters,” proc. ire, vol 47, pp. 332-333; february, 1959.
[2]: a. papoulis, “optimum filters with monotonic response,” p_(roc). ire, vol. 46, pp. 606-609; march, 1958[具有单调响应的最优滤波器 ].
[3]: a. papoulis, “a new class of filters,” 1958 n_(ational) ire c_(onvention) r_(ecord), pt. 2, pp. 42-47.
[4]: e. jahnke and f. emde, “tables of functions,” b. g. teubner, leipzig and berlin, germany, pp. 173-183; 1933.
[5]: e. a. guillemin, “synthesis of passive networks,” john wiley and sons, inc., new york, n. y., pp. 445-455; 1957.
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引言
papoulis开发了一类新的滤波器（滤波器），在单调递减的频响下具有最大截止率。这类滤波器在阻带中的衰减比同阶的butterworth滤波器更大，但由于其频率响应中的单调性质，它仍然保持了尚可的时域响应。papoulis给出了奇数阶(odd degree)最优多项式的公式，从中推导出这些滤波器。本文的目的是给出偶数阶(even degree)最优多项式的一般公式，并表明从这些多项式中，滤波器实际上是可以被实现出来的。
偶数阶的滤波器
一个没有有限零点的滤波器的幅度特性可以写成以下形式：
其中是一个在上的阶数为，且有实系数的多项式。如果随着的增加而单调增加，那么的单调性要求就可以被满足。因此，滤波器的问题是确定一个在上的阶数为的正递增多项式，使得在点的斜率最大。数学上，我们可以通过以下等式来定义这个问题:
以及是最大的。
对于奇数的，解已经由papoulis给出；因此，下面的讨论将仅限于偶数的
其中，由在截止频率处的指定衰减所定。网络函数可以通过常规方法确定。设为幅度等于的网络函数。然后我们有
从中我们获得了左半平面极点的。参考图3的情况，我们有
从这个关系式我们得到，并将连分数展开，我们获得无耗梯形网络实现。在下面的例子中，我们将取，使得在处产生的衰减。
特殊情况
由公式(7)我们得到
因此，由公式(6)我们得到
这表明二阶的滤波器退化为滤波器(译注：这里指butterworth滤波器)。
由公式(8)和公式(6)我们得到，
多项式及其结果的幅频响应分别在图1和图2中绘制。的极点由下式给出
从中我们得到
的极点和梯形网络实现如图3所示。
因此，
多项式及其结果的幅度响应分别在图4和图5中绘制。的极点由下式给出
从中我们得到
其中，
的极点和梯形网络实现如图6所示。
到
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2 4
3 8
4 12
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附录
要确定多项式在(3)和(4)中的形式，我们需要解决以下问题。考虑偶次多项式，它的次数，满足
在这里需要确定多项式，其斜率
最大。有
我们得到
由于非负，其在区间内的所有根都是重根。因此，可以将其写成如下形式
其中是一个没有内部根的奇次多项式，
如果不是线性形式，那么它的次数至少是三。然而，可以证明这是不可能的。因此，应为线性形式，而且从(17)很明显，中的常数项是正的，可以被认为是1。然后，
其中
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[3]: a. papoulis, “a new class of filters,” 1958 n_(ational) ire c_(onvention) r_(ecord), pt. 2, pp. 42-47.
[4]: e. jahnke and f. emde, “tables of functions,” b. g. teubner, leipzig and berlin, germany, pp. 173-183; 1933.
[5]: e. a. guillemin, “synthesis of passive networks,” john wiley and sons, inc., new york, n. y., pp. 445-455; 1957.
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