如何在软件中实现高精度NCO
在本系列的第1部分中，我们将了解如何设计基于直接数字频率合成（ddfs）原理的非常精确的正弦波发生器，但在浮点dsp处理器上通过软件实现。在第 2 部分中，我们将介绍如何在软件中实现高精度 nco。
构建具有与最佳模拟振荡器相似或更好的失真性能的高精度交流音发生器，如最著名的惠普分析仪或应用笔记an-1323中所述，即使专用于音频频谱（直流至20 khz范围），也不是一件小事。然而，如前所述，使用嵌入式处理器的足够算术精度执行相位计算（ωt）和正弦函数（sin（ωt））近似的完整软件实现肯定有助于最大限度地减少量化副作用，噪声和由此产生的杂散。这意味着图2中的所有nco功能块都转换为代码行（无vhdl！），以实现满足实时约束的软件版本，以确保最小采样率和所需的频率带宽。
对于相位到正弦幅度转换引擎，完整的lut方案或任何变化都需要太多的内存或太多的插值操作才能实现完美的正弦一致性。相反，正弦近似的多项式方法允许使用成本非常低的通用dsp，从而提供了非常好的复杂度与精度权衡。多项式级数扩展也非常有吸引力，因为它相对简单，并且能够在选择幂级数类型时提供充分的灵活性，为给定精度定制算法。它不需要大的内存空间，少于100行sharc dsp装配线，只需要几个ram位置来存储多项式系数和变量，因为正弦值仅在采样时计算。
首先，正弦近似函数的明显选择是使用具有适当顺序的直泰勒/麦克劳林幂级数来满足目标精度。但是，由于幂级数往往会在端点上失去有效性，因此在执行任何多项式计算之前，必须将参数输入范围减小到较小的间隔。如果不减少参数范围，函数域（如 ［–π， +π］ ）上的高精度只能通过非常高阶多项式来支持。因此，需要将一些变换应用于初等函数以获得简化的参数，例如 sin（|x|） = sin（f + k × π/2） 和 sin（f） = sin（x – k × π/2） 为 0 ≤f《π/2。因此，三角函数应格外小心，以避免减法抵消，这将导致精度严重损失并产生灾难性结果，尤其是在算术精度较差的情况下。在我们的例子中，当相位输入很大或接近π/2的整数倍时，可能会发生这种情况。
除了周期性和模-2π重复之外，sin（x）函数的对称性质还可以用于进一步缩小近似范围。鉴于正弦函数在区间 ［0， 2π］ 的点 x = π 上是反对称的，因此可以使用以下关系：
将范围减小到 ［0， π］。以同样的方式，sin（x） 显示了区间 ［0， π］ 由 x = π/2 定义的直线的对称性，使得：
对于区间 ［0， π/2］ 中的 x，这进一步减小了角度输入近似范围。进一步将参数简化为较小的区间（如 ［0， π/4］ 以提高精度是没有效率的，因为它需要同时计算正弦和余弦函数，这是由共同三角关系决定的：sin（a+b） = sin（a） × cos（b） + cos（a） × sin（b），这对于生成正交音来说是值得的。
adi公司的adsp-21000系列应用手册第1卷介绍了一种几乎理想的（用于嵌入式系统）正弦逼近函数，该函数基于为首款adi dsp浮点处理器（即adsp-21020）编写的优化功率级数，该处理器基本上是一个sharc内核。sin（x） 的这种实现依赖于由 hart 等人发表的最小最大多项式近似4，并由 cody 和 waite5 改进用于浮点运算，以减轻舍入误差并避免发生前面提到的取消。最小最大值方法依赖于切比雪夫多项式和雷梅兹交换算法来确定所需最大相对误差的系数。如图 3 中的 matlab 所示，与 taylor 的七阶泰勒多项式相比，设定系数的微小变化会导致最小最大值的精度显着提高.6 为了获得最佳精度与速度权衡，此正弦近似函数的角度输入范围缩小到 ［–π/2 到 +π/2］ 区间，并且软件例程包括一个高效的范围缩小滤波器， 约占总“正弦”子例程执行时间的 30%。
图3.与在 0 左右定义的 taylor-maclaurin 方法不同，最小最大值正弦近似方法最小化并均衡了 ［–π/2 至 +π/2］ 区间内的最大相对误差。
虽然所有的计算都可以用32位定点算法执行，但数学计算最常见和最方便的格式，特别是在处理长数时，多年来一直是ieee 754浮点标准。当时，根本没有单芯片浮点dsp处理器，只有简单的浮点乘法器和alu计算ic，例如adsp-3212和adsp-3222。这种格式取代了计算机行业的大多数专有格式，并成为所有sharc dsp处理器的原生格式，包括单精度32位、扩展精度40位，以及最近adsp-sc589和adsp-sc573的双精度64位。
sharc 40 位扩展单精度浮点格式及其 32 位尾数为这种正弦波生成应用提供了足够的精度 （u 2–32），为了保持相等，cody 和 waite 表明，15 阶多项式适用于 32 位的整体精度，在 ［0 到 +π/2］ 输入域上均匀分布误差。最小化操作次数并保持准确性的最后一个调整是实现多项式计算的霍纳规则，这是一种快速幂法，用于评估一个点的多项式，例如：
r1 到 r7 是多项式级数的 cody 和 waite 系数，只需要 8 次乘法和 7 次加法即可计算任何输入参数 ε［0， π/2］ 的正弦函数。以汇编子例程形式编写的完整 sin（x） 近似代码在 sharc 处理器上以大约 22 个内核周期执行。原始程序集子例程经过修改，以便在获取 40 位多项式浮点系数时同时执行双内存访问，以节省六个周期。
图4.dds软件简化框图给出了数据算术格式和处理元件之间各种量化步骤的位置。
nco 64 位相位累加器本身正在利用双精度 2 补码分数格式的 sharc 32 位 alu 来执行。一个完整的相位累加器执行和内存更新需要 11 个内核周期，因此，每个 nco 输出样本在大约 33 个内核周期内生成。
图4中的图表显示了基于dsp的软件nco的功能块实现，并参考了每个阶段的算术格式精度。此外，信号模拟重建需要一个或两个dac及其模拟抗混叠滤波器电路，并实现完整的ddfs。处理链的关键要素是：
64位相位累加器（带溢流的sharc alu双精度加法）;
64位小数定点到40位fp转换模块;
范围缩小块 ［0 到 + π/2］ 和象限选择（科迪和韦特）;
用于相位到幅度转换的正弦近似算法（hart）;
–1.0 至 +1.0 范围内的 sin（x） 重建和归一化阶段;
lp fir 滤波器和 sin（x）/x 补偿（如有必要）;
以及 40 位 fp 到 d 位定点转换和缩放功能，以适应 dac 数字输入。
可以在nco的输出端放置一个可选的数字低通滤波器，以消除可能在目标频带中折叠的任何杂散和噪声。或者，该滤波器可以提供插值和/或反sin（x）/x频率响应补偿，具体取决于为模拟重建选择的dac。这种低通fir滤波器可以使用matlab滤波器设计器工具进行设计。例如，假设采样频率为48 ksps，直流至20 khz带宽，带内纹波为0.0001 db，带外衰减为–150 db，则可以使用40位浮点系数实现高质量的等纹波滤波器。由于只有 99 个滤波器系数，其总执行时间将在单指令、单数据 （sisd） 单计算单元模式下消耗约 120 个 sharc 内核周期。数字滤波后，dma使用其中一个dsp同步串行端口将计算出的样本对发送到dac。为了获得更好的速度性能，还可以使用大型乒乓内存缓冲区链接 dma 操作，以支持按块操作进行处理。例如，块数据大小可以等于 fir 数据延迟线的长度。
nco 的最终调整以实现最佳 sfdr
如前所述，nco受到杂散的影响主要是由于相位累加器输出的截断，以及在较小程度上，由于通过计算或制表获得的正弦值进行的幅度量化。相位截断引起的误差通过相位调制（锯齿波）在载波频率附近产生杂散，而正弦幅度量化会导致谐波相关的杂散，尽管长期以来被认为是随机误差和噪声。今天，相位累加器的操作在数学上是完美的，正如henry t. nicholas和h. samueli的技术论文7中所描述的那样。经过彻底分析后，提出了一个模型，使得相位累加器被认为是离散相位采样置换发生器，从中可以预测频率杂散。无论相位累加器参数（m、n、w）如何，相序的长度都等于
（其中gcd是最大公约数）由频率调谐字m的最右边位位置l决定，如图4所示。因此，l 的值定义了序列类，每个序列类共享自己的一组相位分量，但根据
率。这些在时域中生成的截断相位样本序列用于通过dft确定频域中每条杂散线的相应位置和幅度。这些序列还表明，m（ftw）的奇数值表现出最低频率杂散的幅度，并建议对相位累加器进行简单的修改，只需在ftw中添加1 lsb即可满足这些最小条件。这样，无论相位累加器的m值和初始内容如何，相位累加器输出序列都被迫始终具有相同的2n相位元件。然后，最差杂散音幅度的电平降低3.922 db，等于sfdr_min（dbc）= 6.02 × w。nicholas改进的相位累加器为nco带来了几个好处，因为首先它消除了ftw最右边太接近其msb（fmcw应用中的频率扫描）的情况，其次，它使杂散的幅度与频率调谐字m无关。通过在采样速率fs下切换alu lsb，可以在软件中轻松实现这种修改，可以模拟相位累加器的相同行为，就像ftw lsb设置为逻辑1一样。当相位累加器大小n = 64位时，1/2 lsb偏移可以被认为是关于所需频率fout精度的可忽略不计的误差。
图5.ftw 最右边的非零位的位置设置了理论上的 sfdr 最坏情况水平。尼古拉斯修改的相位累加器解决了n的任何值的问题，并使nco的sfdr最大化。
输出相位字w为32位时，相位截断导致的最大杂散幅度被限制在–192 dbc！正弦采样值的有限量化也会导致另一组频率杂散，它通常被认为是噪声，并通过众所周知的关系snrq（db）= 6.02 × d + 1.76进行估计。由于相位-正弦幅度转换算法级的近似误差，必须将其添加到寄生元件中，但是，考虑到在选择相位-正弦近似算法和计算精度时非常谨慎，该误差被认为是可以忽略不计的。
这些结果表明，我们的软件正弦nco的线性度和噪声都处于理论水平，远远超出了测试市场上大多数高精度adc所需的阈值。信号链中最后一个但最关键的元件还有待找到：重建dac及其互补模拟抗混叠滤波器以及相关的驱动器电路，这些电路很容易满足预期的性能水平。
在本系列的第3部分中，我们将介绍如何选择重建dac并完成ddfs系统。
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首先，正弦近似函数的明显选择是使用具有适当顺序的直泰勒/麦克劳林幂级数来满足目标精度。但是，由于幂级数往往会在端点上失去有效性，因此在执行任何多项式计算之前，必须将参数输入范围减小到较小的间隔。如果不减少参数范围，函数域（如 ［–π， +π］ ）上的高精度只能通过非常高阶多项式来支持。因此，需要将一些变换应用于初等函数以获得简化的参数，例如 sin（|x|） = sin（f + k × π/2） 和 sin（f） = sin（x – k × π/2） 为 0 ≤f《π/2。因此，三角函数应格外小心，以避免减法抵消，这将导致精度严重损失并产生灾难性结果，尤其是在算术精度较差的情况下。在我们的例子中，当相位输入很大或接近π/2的整数倍时，可能会发生这种情况。
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将范围减小到 ［0， π］。以同样的方式，sin（x） 显示了区间 ［0， π］ 由 x = π/2 定义的直线的对称性，使得：
对于区间 ［0， π/2］ 中的 x，这进一步减小了角度输入近似范围。进一步将参数简化为较小的区间（如 ［0， π/4］ 以提高精度是没有效率的，因为它需要同时计算正弦和余弦函数，这是由共同三角关系决定的：sin（a+b） = sin（a） × cos（b） + cos（a） × sin（b），这对于生成正交音来说是值得的。
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r1 到 r7 是多项式级数的 cody 和 waite 系数，只需要 8 次乘法和 7 次加法即可计算任何输入参数 ε［0， π/2］ 的正弦函数。以汇编子例程形式编写的完整 sin（x） 近似代码在 sharc 处理器上以大约 22 个内核周期执行。原始程序集子例程经过修改，以便在获取 40 位多项式浮点系数时同时执行双内存访问，以节省六个周期。
图4.dds软件简化框图给出了数据算术格式和处理元件之间各种量化步骤的位置。
nco 64 位相位累加器本身正在利用双精度 2 补码分数格式的 sharc 32 位 alu 来执行。一个完整的相位累加器执行和内存更新需要 11 个内核周期，因此，每个 nco 输出样本在大约 33 个内核周期内生成。
图4中的图表显示了基于dsp的软件nco的功能块实现，并参考了每个阶段的算术格式精度。此外，信号模拟重建需要一个或两个dac及其模拟抗混叠滤波器电路，并实现完整的ddfs。处理链的关键要素是：
64位相位累加器（带溢流的sharc alu双精度加法）;
64位小数定点到40位fp转换模块;
范围缩小块 ［0 到 + π/2］ 和象限选择（科迪和韦特）;
用于相位到幅度转换的正弦近似算法（hart）;
–1.0 至 +1.0 范围内的 sin（x） 重建和归一化阶段;
lp fir 滤波器和 sin（x）/x 补偿（如有必要）;
以及 40 位 fp 到 d 位定点转换和缩放功能，以适应 dac 数字输入。
可以在nco的输出端放置一个可选的数字低通滤波器，以消除可能在目标频带中折叠的任何杂散和噪声。或者，该滤波器可以提供插值和/或反sin（x）/x频率响应补偿，具体取决于为模拟重建选择的dac。这种低通fir滤波器可以使用matlab滤波器设计器工具进行设计。例如，假设采样频率为48 ksps，直流至20 khz带宽，带内纹波为0.0001 db，带外衰减为–150 db，则可以使用40位浮点系数实现高质量的等纹波滤波器。由于只有 99 个滤波器系数，其总执行时间将在单指令、单数据 （sisd） 单计算单元模式下消耗约 120 个 sharc 内核周期。数字滤波后，dma使用其中一个dsp同步串行端口将计算出的样本对发送到dac。为了获得更好的速度性能，还可以使用大型乒乓内存缓冲区链接 dma 操作，以支持按块操作进行处理。例如，块数据大小可以等于 fir 数据延迟线的长度。
nco 的最终调整以实现最佳 sfdr
如前所述，nco受到杂散的影响主要是由于相位累加器输出的截断，以及在较小程度上，由于通过计算或制表获得的正弦值进行的幅度量化。相位截断引起的误差通过相位调制（锯齿波）在载波频率附近产生杂散，而正弦幅度量化会导致谐波相关的杂散，尽管长期以来被认为是随机误差和噪声。今天，相位累加器的操作在数学上是完美的，正如henry t. nicholas和h. samueli的技术论文7中所描述的那样。经过彻底分析后，提出了一个模型，使得相位累加器被认为是离散相位采样置换发生器，从中可以预测频率杂散。无论相位累加器参数（m、n、w）如何，相序的长度都等于
（其中gcd是最大公约数）由频率调谐字m的最右边位位置l决定，如图4所示。因此，l 的值定义了序列类，每个序列类共享自己的一组相位分量，但根据
率。这些在时域中生成的截断相位样本序列用于通过dft确定频域中每条杂散线的相应位置和幅度。这些序列还表明，m（ftw）的奇数值表现出最低频率杂散的幅度，并建议对相位累加器进行简单的修改，只需在ftw中添加1 lsb即可满足这些最小条件。这样，无论相位累加器的m值和初始内容如何，相位累加器输出序列都被迫始终具有相同的2n相位元件。然后，最差杂散音幅度的电平降低3.922 db，等于sfdr_min（dbc）= 6.02 × w。nicholas改进的相位累加器为nco带来了几个好处，因为首先它消除了ftw最右边太接近其msb（fmcw应用中的频率扫描）的情况，其次，它使杂散的幅度与频率调谐字m无关。通过在采样速率fs下切换alu lsb，可以在软件中轻松实现这种修改，可以模拟相位累加器的相同行为，就像ftw lsb设置为逻辑1一样。当相位累加器大小n = 64位时，1/2 lsb偏移可以被认为是关于所需频率fout精度的可忽略不计的误差。
图5.ftw 最右边的非零位的位置设置了理论上的 sfdr 最坏情况水平。尼古拉斯修改的相位累加器解决了n的任何值的问题，并使nco的sfdr最大化。
输出相位字w为32位时，相位截断导致的最大杂散幅度被限制在–192 dbc！正弦采样值的有限量化也会导致另一组频率杂散，它通常被认为是噪声，并通过众所周知的关系snrq（db）= 6.02 × d + 1.76进行估计。由于相位-正弦幅度转换算法级的近似误差，必须将其添加到寄生元件中，但是，考虑到在选择相位-正弦近似算法和计算精度时非常谨慎，该误差被认为是可以忽略不计的。
这些结果表明，我们的软件正弦nco的线性度和噪声都处于理论水平，远远超出了测试市场上大多数高精度adc所需的阈值。信号链中最后一个但最关键的元件还有待找到：重建dac及其互补模拟抗混叠滤波器以及相关的驱动器电路，这些电路很容易满足预期的性能水平。
在本系列的第3部分中，我们将介绍如何选择重建dac并完成ddfs系统。
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