BUCK电路输入电容ESL纹波电压的公式推导
1. 简介
前文 buck电路输入纹波电压有哪些组成部分？分析了buck电路输入端的纹波电压（简称“输入纹波电压”，input ripple voltage）由三个部分组成，即
(1) “输入电容esl纹波电压”或“输入端感性纹波电压”
(2) “输入电容esr纹波电压”或“输入端阻性纹波电压”
(3) “输入电容cin纹波电压”或“输入端容性纹波电压”
buck电路的“输入纹波电压”
本文，我们分析 “输入电容esl纹波电压”公式及其推导过程。参考上图，其中vesl就是 “输入电容esl纹波电压”的波形。问题是，为什么vesl只在ton和toff交叉的地方有纹波电压？读完本文，便可知晓。
2. “输入电容esl纹波电压”公式推导
我们知道，变化的电流通过电感时，会产生感应电压，且该电感感应电压大小可以表示为
这就是电感公式。
所以，输入电容esl导致的纹波电压分量可以表示为
由“3.3.10.1 输入电容的瞬时电流”章节的输入电容瞬时电流波形可知，输入电容esl引起的纹波电压分量仅发生在“toff切换到ton”过程中（这段时间表示为 t_r ）和“ton切换到toff”过程中（这段时间表示为 t_f ），在ton期间或toff期间，由于电流没有变化（确切地说，是电流没有突变），所以就没有esl纹波电压分量。
降压电路输入电容上的瞬时电流波形
参考上图容易知道，从“toff切换到ton”（切换时间为 t_r ），电流的变化量为
从“ton切换到toff”（切换时间为 t_f ），电流的变化量为
综合上述公式(3.153) - (3.155)可知，输入电容esl纹波电压分量为
其中，i_out-(∆i_l)/2 就是电感电流最小值，i_out+(∆i_l)/2 就是电感电流最大值。该公式与 avnet input capacitor considerations.pdf 资料中公式 [1] [2] 中 esl 纹波电压表达式是一致的。
图片来源：avnet input capacitor considerations.pdf
如果不考虑纹波电流分量，“toff切换到ton”和“ton切换到toff”两个阶段的电流变化量都是 i_out ，再假设两个阶段电流上升时间和下降时间都相同且表示为 t_(r-f) ，那么输入电容esl纹波电压分量还可以表示为
3. 小结
可见，输入电容esl纹波电压分量公式(3.156)，与电感“感应电压公式”本质上是相同的；这就是“感应电压公式”这个“宗”对应的“万变”之一。
这里需要说明的是，由于输入电容esl纹波电压分量较小而通常在工程计算中被忽略。
为什么vesl只在ton和toff交叉的地方有纹波电压？
答案非常简单，因为 v = l × ∆i / ∆t ，电感电压与其上电流变化率成正比关系，电流变化率越大，电压也越大；输入电容上的电流，在“toff切换到ton”和“ton切换到toff”这两个瞬间的电流变化率最大，由此引起的电压也越大。
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(2) “输入电容esr纹波电压”或“输入端阻性纹波电压”
(3) “输入电容cin纹波电压”或“输入端容性纹波电压”
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本文，我们分析 “输入电容esl纹波电压”公式及其推导过程。参考上图，其中vesl就是 “输入电容esl纹波电压”的波形。问题是，为什么vesl只在ton和toff交叉的地方有纹波电压？读完本文，便可知晓。
2. “输入电容esl纹波电压”公式推导
我们知道，变化的电流通过电感时，会产生感应电压，且该电感感应电压大小可以表示为
这就是电感公式。
所以，输入电容esl导致的纹波电压分量可以表示为
由“3.3.10.1 输入电容的瞬时电流”章节的输入电容瞬时电流波形可知，输入电容esl引起的纹波电压分量仅发生在“toff切换到ton”过程中（这段时间表示为 t_r ）和“ton切换到toff”过程中（这段时间表示为 t_f ），在ton期间或toff期间，由于电流没有变化（确切地说，是电流没有突变），所以就没有esl纹波电压分量。
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参考上图容易知道，从“toff切换到ton”（切换时间为 t_r ），电流的变化量为
从“ton切换到toff”（切换时间为 t_f ），电流的变化量为
综合上述公式(3.153) - (3.155)可知，输入电容esl纹波电压分量为
其中，i_out-(∆i_l)/2 就是电感电流最小值，i_out+(∆i_l)/2 就是电感电流最大值。该公式与 avnet input capacitor considerations.pdf 资料中公式 [1] [2] 中 esl 纹波电压表达式是一致的。
图片来源：avnet input capacitor considerations.pdf
如果不考虑纹波电流分量，“toff切换到ton”和“ton切换到toff”两个阶段的电流变化量都是 i_out ，再假设两个阶段电流上升时间和下降时间都相同且表示为 t_(r-f) ，那么输入电容esl纹波电压分量还可以表示为
3. 小结
可见，输入电容esl纹波电压分量公式(3.156)，与电感“感应电压公式”本质上是相同的；这就是“感应电压公式”这个“宗”对应的“万变”之一。
这里需要说明的是，由于输入电容esl纹波电压分量较小而通常在工程计算中被忽略。
为什么vesl只在ton和toff交叉的地方有纹波电压？
答案非常简单，因为 v = l × ∆i / ∆t ，电感电压与其上电流变化率成正比关系，电流变化率越大，电压也越大；输入电容上的电流，在“toff切换到ton”和“ton切换到toff”这两个瞬间的电流变化率最大，由此引起的电压也越大。
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