区块链技术浅析：交易脚本中的椭圆曲线加密算法
一、重新审视rsa
rsa之所以能作为非对称加密算法，其实有两点：
1. 基于大整数质数分解这个数学难题。这个难题，求解出来很困难，但是验证它很简单
2. 私钥签名之后，利用公钥进行验证的还原公式，rsa里面就是欧拉定理。
在比特币中，非对称加密使用的数学难题是离散对数问题。
二、椭圆曲线算法的数学难题 在阅读本节之前，可以先阅读ecc加密算法入门介绍，什么是椭圆曲线呢，并不是我们高中所学的在连续实数域二维平面上的椭圆曲线，而是定义在有限域(有限个离散的值组成的集合)射影平面上的曲线。
先不考虑有限域和射影平面，假设还是在连续实数域二维平面上，就像二维平面上其他曲线都有方程一样，椭圆曲线的方程是：
y2+ a1xy + a3y = x3+ a2x2+ a4x + a6
且曲线上的每个点都是非奇异（或光滑）的，也就是都有切线。
(下面都只讨论实数域和二维平面上的情况，理解了这部分，剩下的仅仅是扩展的问题，非常容易理解)
根据参数不同，曲线形状不同，比如
在这条曲线上定义了加法：就像上图，先定义一点g，然后过g做该椭圆曲线的切线，和椭圆曲线相交于另外一点，称为点-2g，找到点-2g关于x轴的点2g，该点在椭圆曲线上，因为比特币选定的椭圆曲线是关于x轴对称的。(根据参数不同，有很多椭圆曲线，有些不关于x轴对称，有一些关于x轴对称，比特币选定的关于x轴对称的曲线叫secp256k1)。点2g称为点g + 点g的加法。如果g做k次加法，也就是 点2g + 点g = 点3g，点3g + 点g = 点4g，一直加k次，得到点kg。
那么数学难题是什么呢？数学难题是：已知k和g，得出k = kg，是容易的，有公式直接得出，但是由kg的结果k，和点g，得出k是困难的。你看，这也是一个验证很简单，但是求解很困难的事情。为什么求解很困难？其实是相对于从k和g得出k而言的。首先需要明确的是，一步一步的计算，从k和g能得出k(正向)，从k和g也能得出k(逆向)，时间复杂度也就是o(k)，但是如果正向计算能使用一些方法快速求出来，而这个方法对逆向计算不适用，那么就构成了计算的非对称性。椭圆曲线加密算法正是这样的，正向计算可以使用比如 倍数-和 的方法(如果加法看成是乘法，那么就叫 平方-乘 的方法)，但是逆向计算仍然没有找到合适的快速的方法。该部分可以参见《密码学原理与实践》的第六章。
三、椭圆曲线算法的还原方法的设计 下面只是一个例子，还有很多其他的方法。
1. 加密签名的过程：
a. 选择一条椭圆曲线和基点gb. 选择私有密钥k，利用基点g计算公开密钥k = kgc. 产生一个随机整数r，计算点r = rgd. 将明文m和点r的坐标值x, y作为参数，计算sha值，即hash = sha(m, x, y)e. 计算sn = r – hash * kf. 将sn和hash作为密文
2. 对应的验证过程如下
(公开的信息有：基点g，公开密钥k，sn，m和hash)a. 计算点r(x, y) = sn * g + hash * k
b. 计算h = sha(m, x, y)
c. 如果h和hash值相同，则验证成功。
因为：sn = r – hash * k则验证公式为：sn * g + hash * k= (r – hash * k) * g + hash * k= r * g – hash * k * g + hash * k= r * g – hash * k + hash * k= rg = r
(以上计算都是基于模的运算)
其实可以思考一下为啥需要一个随机数r，因为如果没有随机数，那么给出的密文是sn = hash * k，因为hash是已知的，所以这样暴露了k * hash以及k * g，安全性会降低。
四、椭圆曲线算法和rsa的比较 1. 椭圆曲线算法的优点
安全性能更高
160位ecc与1024位rsa、dsa有相同的安全强度
处理速度更快
在私钥的处理速度上，ecc远 比rsa、dsa快得多
带宽要求更低
存储空间更小
ecc的密钥尺寸和系统参数与rsa、dsa相比要小得多
2. 椭圆曲线算法的缺点
设计困难，实现复杂
如果序列号设计过短，那么安全性并没有想象中的完善
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2. 私钥签名之后，利用公钥进行验证的还原公式，rsa里面就是欧拉定理。
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二、椭圆曲线算法的数学难题 在阅读本节之前，可以先阅读ecc加密算法入门介绍，什么是椭圆曲线呢，并不是我们高中所学的在连续实数域二维平面上的椭圆曲线，而是定义在有限域(有限个离散的值组成的集合)射影平面上的曲线。
先不考虑有限域和射影平面，假设还是在连续实数域二维平面上，就像二维平面上其他曲线都有方程一样，椭圆曲线的方程是：
y2+ a1xy + a3y = x3+ a2x2+ a4x + a6
且曲线上的每个点都是非奇异（或光滑）的，也就是都有切线。
(下面都只讨论实数域和二维平面上的情况，理解了这部分，剩下的仅仅是扩展的问题，非常容易理解)
根据参数不同，曲线形状不同，比如
在这条曲线上定义了加法：就像上图，先定义一点g，然后过g做该椭圆曲线的切线，和椭圆曲线相交于另外一点，称为点-2g，找到点-2g关于x轴的点2g，该点在椭圆曲线上，因为比特币选定的椭圆曲线是关于x轴对称的。(根据参数不同，有很多椭圆曲线，有些不关于x轴对称，有一些关于x轴对称，比特币选定的关于x轴对称的曲线叫secp256k1)。点2g称为点g + 点g的加法。如果g做k次加法，也就是 点2g + 点g = 点3g，点3g + 点g = 点4g，一直加k次，得到点kg。
那么数学难题是什么呢？数学难题是：已知k和g，得出k = kg，是容易的，有公式直接得出，但是由kg的结果k，和点g，得出k是困难的。你看，这也是一个验证很简单，但是求解很困难的事情。为什么求解很困难？其实是相对于从k和g得出k而言的。首先需要明确的是，一步一步的计算，从k和g能得出k(正向)，从k和g也能得出k(逆向)，时间复杂度也就是o(k)，但是如果正向计算能使用一些方法快速求出来，而这个方法对逆向计算不适用，那么就构成了计算的非对称性。椭圆曲线加密算法正是这样的，正向计算可以使用比如 倍数-和 的方法(如果加法看成是乘法，那么就叫 平方-乘 的方法)，但是逆向计算仍然没有找到合适的快速的方法。该部分可以参见《密码学原理与实践》的第六章。
三、椭圆曲线算法的还原方法的设计 下面只是一个例子，还有很多其他的方法。
1. 加密签名的过程：
a. 选择一条椭圆曲线和基点gb. 选择私有密钥k，利用基点g计算公开密钥k = kgc. 产生一个随机整数r，计算点r = rgd. 将明文m和点r的坐标值x, y作为参数，计算sha值，即hash = sha(m, x, y)e. 计算sn = r – hash * kf. 将sn和hash作为密文
2. 对应的验证过程如下
(公开的信息有：基点g，公开密钥k，sn，m和hash)a. 计算点r(x, y) = sn * g + hash * k
b. 计算h = sha(m, x, y)
c. 如果h和hash值相同，则验证成功。
因为：sn = r – hash * k则验证公式为：sn * g + hash * k= (r – hash * k) * g + hash * k= r * g – hash * k * g + hash * k= r * g – hash * k + hash * k= rg = r
(以上计算都是基于模的运算)
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四、椭圆曲线算法和rsa的比较 1. 椭圆曲线算法的优点
安全性能更高
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带宽要求更低
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2. 椭圆曲线算法的缺点
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