基于杂波协方差矩阵特征向量分析STAP降维方法
基于杂波协方差矩阵特征向量分析stap降维方法
本文在对杂波协方差矩阵的特征值、阵特征向量做出分析的基础上，讨论了无信噪比损失的降维的充要条件，并给出了一种满足该条件的降维变换阵的构造方法.最后基于一组mountaintop数据对文中提出的算法作出了验证.
关键词:机载雷达；时空二维自适应信号处理；杂波抑制
rank-reduced stap based on eigen-decomposition of the covariance matrix
luo yi,liu guo-sui,su wei-min
(institute of photo and electronics,nanjing university of science and technology,nanjing 210094,china)
abstract:the selection of the transform matrix has an effect on the output signal to interference plus noise ratio.it can achieve its upper bound when transform matrix is selected in a special form.so,a new kind of rank-reduced stap is proposed.when covariance matrix is known,it is the same as the full dimension optimal stap.when covariance matrix is unknown,it also has a good appearance.
key words:aew radar;stap;interference suppression
一、引言
七十年代初reed、mallett和brennan提出了时空二维自适应信号处理中的样本协方差矩阵求逆算法(smi)［1］，并对该方法的性能做了理论分析.受实际条件限制，上述算法不可能直接用于相干脉冲处理间隔(cpi)内的全维时空快拍，对实际应用更有意义的是降维stap算法.目前较为常用的降维措施无外乎两类.第一类是以r.klemm提出的辅助通道法［2］，保铮教授等人提出的mdt-sap［3］，和hong.w提出的jdl-stap［4］为典型，在杂波谱图上直接选出时空波束(一般为二维可分离付氏基)进行降维的方法.这类方法直观且较为可靠.第二类方法是基于杂波协方差矩阵特征值的大小选取相应的降维波束.这两种降维措施在实际应用中往往是脱节的.
二、信号模型与最优自适应权
设一均匀线阵有l阵元，其在某一被检测距离环上得到的时空快拍为x=(xt1，xt2，…，xtl)t，其中xi=(x1i,x2i,…,xmi)t，i=1,2,…,l是第i阵元上接收到的m个脉冲构成的向量，上标‘t’表示矩阵或向量的转置.x可以分为以下两部分x=s+n.其中s是目标，n是由地(海)杂波、接收机噪声及有源干扰构成的.此时杂波协方差矩阵r=cov(n,n),考虑到接收机噪声的存在性，可以认为杂波协方差矩阵r是正定的.在输出信杂噪比最大的准则下，最优权wopt=kr-1s,最优输出信杂噪比sinropt=shr-1s，k为一常数.杂波协方差矩阵还可以表示为r=uλuh,u=(u1,u2,…,ulm),λ=diag(λ1,λ2,…,λlm)，其中u1,u2,…,ulm是r的标准化特征向量，λ1,λ2,…,λlm是相应的特征根.此时，最优权及最优输出信杂噪比可分别表示为
(1)
其中，上标‘h’表示矩阵或向量的共轭转置.把u1，u2，…，ulm看做是彼此正交的信号通道，则λ1,λ2,…，λlm是各通道中噪声功率，而sinropt是各通道中信杂噪比之和.
三、基于杂波协方差矩阵特征分解的降维stap
设b是一个lm×k的列满秩降维变换矩阵，z=bhx，变换后杂波协方差矩阵为rd=e(zzh)=bhrb.当降维变换后的权w=k(bhrb)-1bhs(其中k为常数)，z中相应的最大输出信杂噪比为shb(bhrb)-1bhs.现在有这样几个问题：1.shb(bhrb)-1bhs与shr-1s谁大谁小?2.它们两者可否相等?3.在什么条件下它们两者相等?
对于确定的k,b，易证rd=bhrb是k×k正定hermitian阵.设γi、vi，i=1,2,…，k是rd的特征根及相应的归一化的特征向量.则rd=bhrb=vγvh，其中γ=diag(γ1，γ2，…,γk),v(v1,v2,…，vk).
进一步，rd=vγvh=bhrb=bhuλ1/2λ1/2uhb.从而有γ-1/2vhbhuλ1/2λ1/2uhbvγ-1/2=ik×k.令δ=γ-1/2vhbhuλ1/2,则δδh=ik×k.此时shb(bhrb)-1bhs=shbvγ-1/2γ-1/2vhbhs=shuλ-1/2δhδλ-1/2uhs.
值得注意的是λ-1/2uhs=(λ-1/21uh1s，λ-1/22uh2s，…，λ-1/2lmuhlms)t.则
shb(bhrb)-1bhs=(λ-1/21shu1,λ-1/22shu2,…，λ-1/2lmshulm)δhδ(λ-1/21uh1s,λ-1/22uh2s,…,λ-1/2lmuhlms)t (2)
由于δhδδhδ=δhδ，可见δhδ是幂等的.因而，当且仅当λ-1/2uhs属于δhδ的象空间，即λ-1/2uhs∈im(δhδ)时
shb(bhrb)-1bhs=shr-1s=∑lmi=1λ-1i|uhis|2 (3)
反之，shb(bhrb)-1bhs＜shr-1s.
上式表达的是这样一个事实，对于任意的线性降维变换，降维后所能得到的最大信杂噪比不大于sinropt.下面给出一种使λ-1/2uhs∈im(δhδ)的降维变换矩阵b的选取方法
定理：设|shu1|2,|shu2|2,|shuk-1|2,…,∑lmi=kλ-1i|uhis|2＞0.对任意的正数k(1klm)，当
(4)
时，v=λ-1/2uhs∈im(δhδ).其中o1是(k-1)×1零矩阵，o2是(lm-k+1)×(k-1)零矩阵，
d1=diag(λ-11uh1s,λ-12uh2s,…，λ-1k-1uhk-1s),
d2=(λ-1kuhks,λ-1k+1uhk+1s,…，λ-1lmuhlms)t (5)
证明：v∈im(δhδ)当且仅当 (b(bhrb)-1bh-r-1)s=o. (6)
事实上，如果(b(bhrb)-1bh-r-1)s=o，则shb(bhrb)-1bhs=shr-1s.若v∈im(δhδ)，则δhδv=v.于是
uλ-1/2δhδλ-1/2uhs=uλ-1/2λ-1/2uhs，既(b(bhrb)-1bh-r-1)s=o.由于
(7)
其中λ1=diag(λ1，λ2，…,λk-1)，λ2=diag(λk,λk+1,…,λlm),则
(8)
其中(p1,p2)t=uhs,且p1=(uh1s,…,uhk-1s)t,p2=(uhks,…,uhlms)t.由于d2=λ-12p2，则
(9)
注释：从证明的过程中可以看出，降维变换矩阵b具有更为一般的形式.设
∑m1i=1λ-1i|uhis|2＞0,∑m2i=m1+1λ-1i|uhis|2＞0,…,∑lmi=mk-1+1λ-1i|uhis|2＞0,b=u(diag(d1,d2,…,dk))，
其中
d1=(λ-11uh1s,λ-12uh2s,…，λ-1muhms)t，
d2=(λ-1m1+1uhm1+1s,λ-1m1+2uhm1+2s,…,λ-1m2uhm2s)t，…，
dk=(λ-1mk-1+1uhmk-1+1s,λ-1mk-1+2uhmk-1+2s,…,λ-1lmuhlms)t， (10)
则v∈im(δhδ).
从降维变换矩阵b的构造可以看出，b是根据各ui(i=1,2,…,lm)通道中信杂噪比的大小对ui做线性组合后得到的，其降维变换本身就是杂波抑制的过程.
再者，降维后的系统自由度k可取1到lm之间任意的整数.当k=1时，b=wopt.
四、杂波协方差矩阵未知时降维自适应杂波抑制
设x是被检测距离门上的时空快拍(基本数据)，x1,x2,…,xm是与被检测距离门相邻的若干个距离门上的时空快拍(二次数据)，则=(1/m)∑mi=1xixhi是杂波协方差矩阵的极大似然估计，k-1s是全维smi最优权的估计.为达到实时处理，可采用以下两种降维stap算法.
(1)先利用杂波模型，根据雷达天线的发射方向图、主波束方位角及载机速度等参数计算出理想杂波协方差矩阵r′.再对r′做特征分解，并把结果带入式(4)得到降维变换矩阵b.将b作用于基本数据、二次数据，并在此基础上做自适应处理.
(2)设z1，z2，…,zq为雷达扫描在同一方位上前数个cpi中与被检测距离门相邻的若干个距离门上的时空快拍(在此称为辅助数据).一定条件下可假设，z1，z2，…,zq与x1，x2，…,xm相互独立，且zi、xj具有相同的分布.设1=(1/q)∑qi=1zizhi,则1也是杂波协方差矩阵的极大似然估计.对1做特征分解，并把结果带入式(4)得到降维变化矩阵b.将b作用于基本数据、二次数据，并在此基础上做自适应处理.
构造上述两种降维变换矩阵b的关键是通过一定的先验知识获取对杂波协方差矩阵的估计.尽管仍需做全维的杂波协方差矩阵特征分解，但是这样做可争取到实时处理中的处理时间.分析表明，如以代替1做上述第(2)种降维自适应处理，其不仅在运算量上与全维smi的相当，它们在性能上也是一致的［5］.
五、实测数据中的验证
下面以mountaintop data t38pre01v1为例验证上述算法.mountaintop实验中，天线是由14列阵元构成的等效均匀线阵.波束宽度为26°(半功率点).每个cpi有16个脉冲.等效平台运动速度为94m/s.载波波长为0.6897m，在152公里(约在140号距离门前后)处有一目标.本文以十四个阵元的chebyshev加权线阵做发射阵计算理想杂波协方差矩阵.降维过程中取k=30.
图1中所示为对403个距离门做全维自适应匹配滤波得到的信噪比输出(-30db对角加载).图2中所示为对403个距离门做降维自适应匹配滤波得到的信噪比输出.计算中还发现前一算法对对角加载很敏感，而后者对对角加载不敏感.也就是说后者的降维波束很稳定.
图1
图2
六、结论
本文首先在杂波协方差矩阵已知的条件下，通过对杂波协方差矩阵及最优滤波器权值的分析，给出了一种无信杂噪比损失的降维stap的算法.在降维变换矩阵的选取上充分考虑各正交通道中信杂噪比的输出，以避免降维波束选取中的盲目性.其次在杂波协方差矩阵未知时，利用杂波协方差矩阵的先验知识及上述分析构造了一组降维波束，为降维stap的实时处理在时间上留有充分的余地.
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一、引言
七十年代初reed、mallett和brennan提出了时空二维自适应信号处理中的样本协方差矩阵求逆算法(smi)［1］，并对该方法的性能做了理论分析.受实际条件限制，上述算法不可能直接用于相干脉冲处理间隔(cpi)内的全维时空快拍，对实际应用更有意义的是降维stap算法.目前较为常用的降维措施无外乎两类.第一类是以r.klemm提出的辅助通道法［2］，保铮教授等人提出的mdt-sap［3］，和hong.w提出的jdl-stap［4］为典型，在杂波谱图上直接选出时空波束(一般为二维可分离付氏基)进行降维的方法.这类方法直观且较为可靠.第二类方法是基于杂波协方差矩阵特征值的大小选取相应的降维波束.这两种降维措施在实际应用中往往是脱节的.
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(1)
其中，上标‘h’表示矩阵或向量的共轭转置.把u1，u2，…，ulm看做是彼此正交的信号通道，则λ1,λ2,…，λlm是各通道中噪声功率，而sinropt是各通道中信杂噪比之和.
三、基于杂波协方差矩阵特征分解的降维stap
设b是一个lm×k的列满秩降维变换矩阵，z=bhx，变换后杂波协方差矩阵为rd=e(zzh)=bhrb.当降维变换后的权w=k(bhrb)-1bhs(其中k为常数)，z中相应的最大输出信杂噪比为shb(bhrb)-1bhs.现在有这样几个问题：1.shb(bhrb)-1bhs与shr-1s谁大谁小?2.它们两者可否相等?3.在什么条件下它们两者相等?
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进一步，rd=vγvh=bhrb=bhuλ1/2λ1/2uhb.从而有γ-1/2vhbhuλ1/2λ1/2uhbvγ-1/2=ik×k.令δ=γ-1/2vhbhuλ1/2,则δδh=ik×k.此时shb(bhrb)-1bhs=shbvγ-1/2γ-1/2vhbhs=shuλ-1/2δhδλ-1/2uhs.
值得注意的是λ-1/2uhs=(λ-1/21uh1s，λ-1/22uh2s，…，λ-1/2lmuhlms)t.则
shb(bhrb)-1bhs=(λ-1/21shu1,λ-1/22shu2,…，λ-1/2lmshulm)δhδ(λ-1/21uh1s,λ-1/22uh2s,…,λ-1/2lmuhlms)t (2)
由于δhδδhδ=δhδ，可见δhδ是幂等的.因而，当且仅当λ-1/2uhs属于δhδ的象空间，即λ-1/2uhs∈im(δhδ)时
shb(bhrb)-1bhs=shr-1s=∑lmi=1λ-1i|uhis|2 (3)
反之，shb(bhrb)-1bhs＜shr-1s.
上式表达的是这样一个事实，对于任意的线性降维变换，降维后所能得到的最大信杂噪比不大于sinropt.下面给出一种使λ-1/2uhs∈im(δhδ)的降维变换矩阵b的选取方法
定理：设|shu1|2,|shu2|2,|shuk-1|2,…,∑lmi=kλ-1i|uhis|2＞0.对任意的正数k(1klm)，当
(4)
时，v=λ-1/2uhs∈im(δhδ).其中o1是(k-1)×1零矩阵，o2是(lm-k+1)×(k-1)零矩阵，
d1=diag(λ-11uh1s,λ-12uh2s,…，λ-1k-1uhk-1s),
d2=(λ-1kuhks,λ-1k+1uhk+1s,…，λ-1lmuhlms)t (5)
证明：v∈im(δhδ)当且仅当 (b(bhrb)-1bh-r-1)s=o. (6)
事实上，如果(b(bhrb)-1bh-r-1)s=o，则shb(bhrb)-1bhs=shr-1s.若v∈im(δhδ)，则δhδv=v.于是
uλ-1/2δhδλ-1/2uhs=uλ-1/2λ-1/2uhs，既(b(bhrb)-1bh-r-1)s=o.由于
(7)
其中λ1=diag(λ1，λ2，…,λk-1)，λ2=diag(λk,λk+1,…,λlm),则
(8)
其中(p1,p2)t=uhs,且p1=(uh1s,…,uhk-1s)t,p2=(uhks,…,uhlms)t.由于d2=λ-12p2，则
(9)
注释：从证明的过程中可以看出，降维变换矩阵b具有更为一般的形式.设
∑m1i=1λ-1i|uhis|2＞0,∑m2i=m1+1λ-1i|uhis|2＞0,…,∑lmi=mk-1+1λ-1i|uhis|2＞0,b=u(diag(d1,d2,…,dk))，
其中
d1=(λ-11uh1s,λ-12uh2s,…，λ-1muhms)t，
d2=(λ-1m1+1uhm1+1s,λ-1m1+2uhm1+2s,…,λ-1m2uhm2s)t，…，
dk=(λ-1mk-1+1uhmk-1+1s,λ-1mk-1+2uhmk-1+2s,…,λ-1lmuhlms)t， (10)
则v∈im(δhδ).
从降维变换矩阵b的构造可以看出，b是根据各ui(i=1,2,…,lm)通道中信杂噪比的大小对ui做线性组合后得到的，其降维变换本身就是杂波抑制的过程.
再者，降维后的系统自由度k可取1到lm之间任意的整数.当k=1时，b=wopt.
四、杂波协方差矩阵未知时降维自适应杂波抑制
设x是被检测距离门上的时空快拍(基本数据)，x1,x2,…,xm是与被检测距离门相邻的若干个距离门上的时空快拍(二次数据)，则=(1/m)∑mi=1xixhi是杂波协方差矩阵的极大似然估计，k-1s是全维smi最优权的估计.为达到实时处理，可采用以下两种降维stap算法.
(1)先利用杂波模型，根据雷达天线的发射方向图、主波束方位角及载机速度等参数计算出理想杂波协方差矩阵r′.再对r′做特征分解，并把结果带入式(4)得到降维变换矩阵b.将b作用于基本数据、二次数据，并在此基础上做自适应处理.
(2)设z1，z2，…,zq为雷达扫描在同一方位上前数个cpi中与被检测距离门相邻的若干个距离门上的时空快拍(在此称为辅助数据).一定条件下可假设，z1，z2，…,zq与x1，x2，…,xm相互独立，且zi、xj具有相同的分布.设1=(1/q)∑qi=1zizhi,则1也是杂波协方差矩阵的极大似然估计.对1做特征分解，并把结果带入式(4)得到降维变化矩阵b.将b作用于基本数据、二次数据，并在此基础上做自适应处理.
构造上述两种降维变换矩阵b的关键是通过一定的先验知识获取对杂波协方差矩阵的估计.尽管仍需做全维的杂波协方差矩阵特征分解，但是这样做可争取到实时处理中的处理时间.分析表明，如以代替1做上述第(2)种降维自适应处理，其不仅在运算量上与全维smi的相当，它们在性能上也是一致的［5］.
五、实测数据中的验证
下面以mountaintop data t38pre01v1为例验证上述算法.mountaintop实验中，天线是由14列阵元构成的等效均匀线阵.波束宽度为26°(半功率点).每个cpi有16个脉冲.等效平台运动速度为94m/s.载波波长为0.6897m，在152公里(约在140号距离门前后)处有一目标.本文以十四个阵元的chebyshev加权线阵做发射阵计算理想杂波协方差矩阵.降维过程中取k=30.
图1中所示为对403个距离门做全维自适应匹配滤波得到的信噪比输出(-30db对角加载).图2中所示为对403个距离门做降维自适应匹配滤波得到的信噪比输出.计算中还发现前一算法对对角加载很敏感，而后者对对角加载不敏感.也就是说后者的降维波束很稳定.
图1
图2
六、结论
本文首先在杂波协方差矩阵已知的条件下，通过对杂波协方差矩阵及最优滤波器权值的分析，给出了一种无信杂噪比损失的降维stap的算法.在降维变换矩阵的选取上充分考虑各正交通道中信杂噪比的输出，以避免降维波束选取中的盲目性.其次在杂波协方差矩阵未知时，利用杂波协方差矩阵的先验知识及上述分析构造了一组降维波束，为降维stap的实时处理在时间上留有充分的余地.
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