回路矩阵与回路电压定律
回路矩阵与回路电压定律
关联矩阵a反映了电路节点与支路之间的连接关系，由此可建立矩阵形式的基尔霍夫电流定律。与此相似，当用回路电流法分析电路时，必须建立回路与支路之间的关系，如必需知道回路是由那些支路所组成，支路与回路之间的参考方向关系。这些关系可以用一个回路矩阵来描述。的行对应于某一回路，的列对应于某条支路，矩阵的元素满足以下关系：
（7-3-1）
矩阵充分反映了回路与支路的关联情况。
在用回路电流法分析计算电路问题时，选取正确合适的独立回路是一个重要的问题。对于某一电路，可以选择许多不同的回路。如对于图7-3-1所示的网络有向图，至少可以选择7条不同的回路来列写回路矩阵。但这样列出的回路矩阵中，有些回路对应的中的行是线性相关的，即是说中的某些行可以通过其它行的代数运算而得到。在电路分析中，当用基尔霍夫定律建立回路方程时，只有一组线性独立的回路电压方程才有实际意义。在前面已讨论过如何选取网络的回路来获得独立的基尔霍夫回路电压方程，独立回路可以选取单连支回路。选择单连支回路来建立的回路矩阵，称为基本回路矩阵，用来表示。如对于
图 7-3-1
图7-3-1所示网络，若选取支路1、2、3作为树，可写出它的基本回路矩阵为：
基本回路矩阵为阶矩阵。矩阵的秩等于矩阵的行数。
上面在对图7-3-1网络编号时，若支路编号采取先树支后连支的安排，这样建立的基本回路矩阵右半部是一个l阶的单位矩阵（l为连支数）即基本回路矩阵可以表述为：
（7-3-2）
这里要指出的是，回路矩阵的行反映了某一回路与支路之间的关系，而回路矩阵的列则反映了某一支路与所有回路之间的关系。即是说，从某一列元素中可以看出有多少回路穿越该支路，且可判别出回路方向与支路方向之间的关系，它实际上隐含着支路电流与回路电流之间的关系信息。
对于平面网孔，另一种选取独立回路的方法是选择网孔回路，由网孔回路建立的回路矩阵称作网孔回路矩阵，可用来表示。如对于图7-3-1所示的网络，可写出其网孔回路矩阵为：
这里取回路方向为顺时针方向。
回路矩阵的每一行元素反映了该回路中所包含的支路及其方向。若设网络支路电压的参考方向与支路电流方向一致，写成列向量为，用回路矩阵左乘支路电压列向量u，可得个元素的列向量，其中每一行都包含了该回路中所有支路电压代数和，且当支路电压方向与回路一致时为正，反之为负。由基尔霍夫电压定律可知，任一闭合回路的电压代数和恒为零，因此可知与u的乘积为零，即有：
（7-3-3）
（7-3-4）
对于正弦稳态交流电路，有：
（7-3-5）
（7-3-6）
对于图7-3-1所示的网络，其支路电压列向量为用前面得到的基本回路矩阵左乘u，可得：
由上式可看出，乘积的每一行是各回路中支路电压代数和，是基尔霍夫电压定律的反映，式7-3-3和7-3-4称为矩阵形式的基尔霍夫电压定律。
下面分析支路电流与回路电流之间的关系。前面已指出，回路矩阵的每一列元素实际上是反映某一支路中所穿过的回路和方向。设回路电流列向量为，则用左乘后，乘积的每一行之和恰为流过该支路中所有回路电流的代数和，且回路电流方向与支路方向一致时为正，反之为负。由回路电流法解题的知识可知，任一支路中所有回路电流代数和为该支路电流之值。因此可知与的乘积为支路电流列向量i，即：
（7-3-7） 或 （7-3-8）
例如对于图7-3-1所示网络，选单连支回路为独立回路，此时回路电流即为连支电流，有：
用左乘，得：
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图 7-3-1
图7-3-1所示网络，若选取支路1、2、3作为树，可写出它的基本回路矩阵为：
基本回路矩阵为阶矩阵。矩阵的秩等于矩阵的行数。
上面在对图7-3-1网络编号时，若支路编号采取先树支后连支的安排，这样建立的基本回路矩阵右半部是一个l阶的单位矩阵（l为连支数）即基本回路矩阵可以表述为：
（7-3-2）
这里要指出的是，回路矩阵的行反映了某一回路与支路之间的关系，而回路矩阵的列则反映了某一支路与所有回路之间的关系。即是说，从某一列元素中可以看出有多少回路穿越该支路，且可判别出回路方向与支路方向之间的关系，它实际上隐含着支路电流与回路电流之间的关系信息。
对于平面网孔，另一种选取独立回路的方法是选择网孔回路，由网孔回路建立的回路矩阵称作网孔回路矩阵，可用来表示。如对于图7-3-1所示的网络，可写出其网孔回路矩阵为：
这里取回路方向为顺时针方向。
回路矩阵的每一行元素反映了该回路中所包含的支路及其方向。若设网络支路电压的参考方向与支路电流方向一致，写成列向量为，用回路矩阵左乘支路电压列向量u，可得个元素的列向量，其中每一行都包含了该回路中所有支路电压代数和，且当支路电压方向与回路一致时为正，反之为负。由基尔霍夫电压定律可知，任一闭合回路的电压代数和恒为零，因此可知与u的乘积为零，即有：
（7-3-3）
（7-3-4）
对于正弦稳态交流电路，有：
（7-3-5）
（7-3-6）
对于图7-3-1所示的网络，其支路电压列向量为用前面得到的基本回路矩阵左乘u，可得：
由上式可看出，乘积的每一行是各回路中支路电压代数和，是基尔霍夫电压定律的反映，式7-3-3和7-3-4称为矩阵形式的基尔霍夫电压定律。
下面分析支路电流与回路电流之间的关系。前面已指出，回路矩阵的每一列元素实际上是反映某一支路中所穿过的回路和方向。设回路电流列向量为，则用左乘后，乘积的每一行之和恰为流过该支路中所有回路电流的代数和，且回路电流方向与支路方向一致时为正，反之为负。由回路电流法解题的知识可知，任一支路中所有回路电流代数和为该支路电流之值。因此可知与的乘积为支路电流列向量i，即：
（7-3-7） 或 （7-3-8）
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