滤波器一些问题的补充
关于滤波器的技术指标，包含裕度、截止频率、带内波动、带内驻波比、带内相位线性度，巴特沃兹、切比雪夫、贝塞尔滤波器电路分析、传递函数。包含低通、高通、带通。
技术指标补充
裕度：相位裕度是锁相环开环传递函数在伯德图（由两张图组成：一张是对数幅频特性，它的纵坐标为20lg|g（jw）|，单位是分贝，用符号db表示。另一张是对数相频特性，纵坐标是角度。）上形成的性能参数，是用于考核锁相环稳定性的依据。其定义与计算方法是：分别画出锁相环开环传递函数的幅频与相频曲线，找到当幅度增益为0db时所在频点，该频点对应的相位值减去-180°的差值就为相位裕度。如果差值大于0，则环路稳定，小于0则环路是不稳定的。
上面说到了锁相环，下面找了一些锁相环的资料。
pll原理框图
锁相环 （phase-locked loop）为无线电发射中使频率较为稳定的一种方法，主要有vco（压控振荡器）和pll ic ，压控振荡器给出一个信号，一部分作为输出，另一部分通过分频与pll ic所产生的本振信号作相位比较，为了保持频率不变，就要求相位差不发生改变，如果有相位差的变化，则pll ic的电压输出端的电压发生变化，去控制vco，直到相位差恢复！达到锁频的目的！！能使受控振荡器的频率和相位均与输入信号保持确定关系的闭环电子电路。
锁相环由鉴相器、环路滤波器和压控振荡器组成。鉴相器用来鉴别输入信号ui与输出信号uo之间的相位差 ，并输出误差电压ud 。ud 中的噪声和干扰成分被低通性质的环路滤波器滤除，形成压控振荡器（vco）的控制电压uc。uc作用于压控振荡器的结果是把它的输出振荡频率fo拉向环路输入信号频率fi ，当二者相等时，环路被锁定 ，称为入锁。维持锁定的直流控制电压由鉴相器提供，因此鉴相器的两个输入信号间留有一定的相位差。
压控振荡器给出一个信号，一部分作为输出，另一部分通过分频与pll ic所产生的本振信号作相位比较，为了保持频率不变，就要求相位差不发生改变，如果有相位差的变化，则pll ic的电压输出端的电压发生变化，去控制vco，直到相位差恢复！达到锁频的目的！！能使受控振荡器的频率和相位均与输入信号保持确定关系的闭环电子电路。
2. 边沿触发鉴相器 前已述及，异或门相位比较器在使用时要求两个作比较的信号必须是占空比为50%的波形，这就给应用带来了一些不便。而边沿触发鉴相器是通过比较两输入信号的上跳边沿（或下跳边沿）来对信号进行鉴相，对输入信号的占空比不作要求。
德伯图
截止频率：相对衰耗达到某规定值的通带边缘频率。是在滤波器的频率响应上，处于这一频率的振幅，较通带区内中心频率的振幅低3db，故又称为3db频率。
带内波动：通带内波峰、波谷之差的最大值定义为带内波动。其值以分贝表示。一般在数字调制的通信系统中，所用的滤波器的纹波值，以不高于0.5分贝为宜。 通带含有纹波的滤波器，都以具有切比雪夫特性为主。
带内驻波比（vswr）：衡量滤波器通带内信号是否良好匹配传输的一项重要指标。理想匹配vswr=1：1，失配时vswr》1。对于一个实际的滤波器而言，满足vswr《1.5：1的带宽一般小于bw3db，其占bw3db的比例与滤波器阶数和插损相关。滤波器的电压驻波比（vswr）是衡量滤波器与它所在系统的特征阻抗匹配程度的一个指标。滤波器某个端口的vswr是当另外一个端口精确匹配系统特征阻抗（高频系统中一般为50ω）时从该端口看进去的阻抗。因此，一个滤波器的指标通常同时包括输入vswr和输出vswr的典型值和最大值，分别代表滤波器与它所连接的源和负载阻抗的匹配程度。vswr用与1的比例值表示，如1.50:1，但也可以表示为滤波器的反射损耗（单位db）。如果一个滤波器在通带和阻带上都呈现阻抗匹配，那么这个滤波器就被认为是吸收型滤波器，当只在通带上做到阻抗匹配时，这个滤波器被认为是反射型滤波器。后一种滤波器在阻带上有较高的vswr，如20.0:1或更高。滤波器的电源处理能力通常与滤波器的物理尺寸、工作频率范围、滤波器技术、基板材料类型、封装类型、材料的散热极限有关。最大功率极限也是信号类型（如连续波（cw）或脉冲信号）以及该信号使用的调制类型的一个函数。
带内相位线性度：该指标表征滤波器对通带内传输信号引入的相位失真大小。按线性相位响应函数设计的滤波器具有良好的相位线性度，但频率选择性很差，限于脉冲、或调相信号传输系统应用。线性相位的特点：一个单一频率的正弦信号通过一个系统，假设它通过这个系统的时间需要t，则这个信号的输出相位落后原来信号wt的相位。从这边可以看出，一个正弦信号通过一个系统落后的相位等于它的w*t;反过来说，如果一个频率为w的正弦信号通过系统后，它的相位落后delta，则该信号被延迟了delta/w的时间。在实际系统中，一个输入信号可以分解为多个正弦信号的叠加，为了使得输出信号不会产生相位失真，必须要求它所包含的这些正弦信号通过系统的时间是一样的。因此每一个正弦信号的相位分别落后，w1*t，w2*t，w3*t。因此，落后的相位正比于频率w，如果超前，超前相位的大小也是正比于频率w。从系统的频率响应来看，就是要求它的相频特性是一条直线。在fir滤波器的设计中，为了得到线性相位的性质，通常利用实偶对称序列的相频特性为常数0和实奇对称序列为相频特性为常数90度的特点。因此得到的是对称序列，不是因果序列，是不可实现系统，为了称为物理可实现系统，需要将它向右移动半个周期，这就造成了相移特性随时间的变化，同时也是线性变化。
插入损耗：
图二（a） 表示一个电源，它的电动势为eg，内阻为r1。设负载为r2，则当负载直接与电源相接时，它所能吸收的功率为：
现在我们将滤波器a接于电源与负载之间，如图二（b） 所示，由于滤波器的特性，当电源频率变化时，出现于r2两端的压降e2是不同的，即r2从电源所取得的功率
在不同频率上是不等的。用分贝来表示的p02 与p2的比值称为插入损耗li：
插入损耗li是衡量滤波器效能的一个参数。根据上面的讨论，显然可见，一个良好的滤波器的插入损耗在通带内应该比较低，而在止带内应该比较高。理想的滤波器的插入损耗在通带内应该等于零，而在止带内应该是无穷大。插入损耗是普通滤波器常用的参数。滤波网络具有的阻抗变换特性不难使负载r2在整个通带内与电源达成匹配。这时，负荷所吸收的功率将超过p02，而使li取得负值。根据r1和r2的比值不同，li的这个负值也不一样。因此，插入损耗li并不是一个很方便的比较基准。为了避免这种困难，人们还提出另外一个参数，它以电源所能供给的最大功率p0为基准
巴特沃兹滤波器
1.巴特沃思（butterworth）低通滤波器（简称bw型滤波器）
（1） 基本性质
图5.32 低通滤波器的幅度平方频率响应
所谓巴特沃思滤波器就是以巴特沃思近似函数作为滤波器的系统函数，该函数以最高阶台劳级数的形式来逼近理想矩形特性。式（5.38）是它的通用模方函数表示式。
可见，它的分子等于常数，分母是
（或
）的多项式，是一个正实函数，由它导出的系统函数在物理上是可以实现的。式中n表示滤波器的阶次是正整数， ωc为截止频率或取衰耗
等于3db时的带宽，ε为与通带衰耗 ap有关的参数，λ为与阻带衰耗ar 有关的参数，如图5.32所示。图中 ωc是截频、也是通带的边界频率，ωc是阻带的边界频率，所以有
当ε→0，λ→∞，ωr→ωc则滤波特性趋近于理想的矩形。
显见，参数ε与λ主要取决于设计指标容限范围。若指标规定在通带边界频率，通带允许的最大衰耗为ap则根据式（5.39）有
故得
对bw型滤波器，通常取 ap=3db 带宽作为截频，所以ε=1。若规定在阻带边界频率，阻带允许的最小衰耗为ar ，则根据式（5.39）有
故得
图5.33 归一化巴特沃思低通滤波器的幅度特性曲线
模拟滤波器设计过程，为了通用性，模方函数往往用规一化形式表示。对bw型取
为规一化频率，则式（5.38）改写成
式中
表示归一化模方函数如图5.33所示，其幅度随着n的增加，通带愈益平坦，愈接近理想特性，当n→∞则逼近矩形，即
下面结合式（5.43）说明bw型低通滤波器所具有的基本性质。
（a） 对不同n值都存在
这说明，幅度特性在正频率范围（包括通带与阻带），随着频率ω的升高单调地下降。ω=0（直流）为最大，ω=∞趋于零，也就是说没有有限零点。
（b） 当ω=0，即对直流来说，理想幅度特性与所得近似特性之间的差别，不仅对巴沃思函数本身，就是对2n-1阶导数来说，都等于零。因为式（5.43）按二项式定理或台劳级数展开可得
所以
这说明在ω=0和ω=∞附近是最“平坦”的，故而巴特沃思滤波器又叫做“最大平坦”近似。
（c） 当频率远离 ω ，即ω》》 1高频范围，频率每增加一倍（倍频程）衰耗增加6ndb。或者说，“滚降率”为6ndb/倍频程，因为这时
所以
当
切比雪夫：
图6.2.5分别画出阶数n为奇数与偶数时的切比雪夫ⅰ型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用a2（ω）表示：
图6.2.5 切比雪夫ⅰ型滤波器幅频特性
贝塞尔滤波器：
由于其线性相位响应特性，使得此类滤波器具有最优的脉冲响应（最小化过冲及振铃）性能。对于给定的极点数量而言，贝赛尔的幅频响应并不如巴特沃兹平坦，-3 db 截止频率以外频带的衰减也不如巴特沃兹陡峭。尽管须采用更高阶的贝赛尔滤波器来逼近给定的巴特沃兹滤波器的幅频响应，但考虑到贝赛尔滤波器的脉冲响应保真度，增加一定的复杂性（源于附加的滤波器部件）也是物有所值的。
三种响应的对比：
巴特沃兹响应：
优点：巴特沃兹滤波器提供了最大的通带幅度响应平坦度，具有良好的综合性能，其脉冲响应优于切比雪夫，衰减速度优于贝赛尔。
缺点：阶跃响应存在一定的过冲及振荡。
切比雪夫响应：
优点：与巴特沃兹相比，切比雪夫滤波器具有了更良好的通带外衰减。
缺点：通带内纹波令人不满，阶跃响应的振铃较严重。
贝赛尔响应：
优点：贝赛尔滤波器具有最优的阶跃响应——非常小的过冲及振铃。缺点：与巴特沃兹相比，贝赛尔滤波器的通带外衰减较为缓慢
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基于GMSK差分解调仿真（２）
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技术指标补充
裕度：相位裕度是锁相环开环传递函数在伯德图（由两张图组成：一张是对数幅频特性，它的纵坐标为20lg|g（jw）|，单位是分贝，用符号db表示。另一张是对数相频特性，纵坐标是角度。）上形成的性能参数，是用于考核锁相环稳定性的依据。其定义与计算方法是：分别画出锁相环开环传递函数的幅频与相频曲线，找到当幅度增益为0db时所在频点，该频点对应的相位值减去-180°的差值就为相位裕度。如果差值大于0，则环路稳定，小于0则环路是不稳定的。
上面说到了锁相环，下面找了一些锁相环的资料。
pll原理框图
锁相环 （phase-locked loop）为无线电发射中使频率较为稳定的一种方法，主要有vco（压控振荡器）和pll ic ，压控振荡器给出一个信号，一部分作为输出，另一部分通过分频与pll ic所产生的本振信号作相位比较，为了保持频率不变，就要求相位差不发生改变，如果有相位差的变化，则pll ic的电压输出端的电压发生变化，去控制vco，直到相位差恢复！达到锁频的目的！！能使受控振荡器的频率和相位均与输入信号保持确定关系的闭环电子电路。
锁相环由鉴相器、环路滤波器和压控振荡器组成。鉴相器用来鉴别输入信号ui与输出信号uo之间的相位差 ，并输出误差电压ud 。ud 中的噪声和干扰成分被低通性质的环路滤波器滤除，形成压控振荡器（vco）的控制电压uc。uc作用于压控振荡器的结果是把它的输出振荡频率fo拉向环路输入信号频率fi ，当二者相等时，环路被锁定 ，称为入锁。维持锁定的直流控制电压由鉴相器提供，因此鉴相器的两个输入信号间留有一定的相位差。
压控振荡器给出一个信号，一部分作为输出，另一部分通过分频与pll ic所产生的本振信号作相位比较，为了保持频率不变，就要求相位差不发生改变，如果有相位差的变化，则pll ic的电压输出端的电压发生变化，去控制vco，直到相位差恢复！达到锁频的目的！！能使受控振荡器的频率和相位均与输入信号保持确定关系的闭环电子电路。
2. 边沿触发鉴相器 前已述及，异或门相位比较器在使用时要求两个作比较的信号必须是占空比为50%的波形，这就给应用带来了一些不便。而边沿触发鉴相器是通过比较两输入信号的上跳边沿（或下跳边沿）来对信号进行鉴相，对输入信号的占空比不作要求。
德伯图
截止频率：相对衰耗达到某规定值的通带边缘频率。是在滤波器的频率响应上，处于这一频率的振幅，较通带区内中心频率的振幅低3db，故又称为3db频率。
带内波动：通带内波峰、波谷之差的最大值定义为带内波动。其值以分贝表示。一般在数字调制的通信系统中，所用的滤波器的纹波值，以不高于0.5分贝为宜。 通带含有纹波的滤波器，都以具有切比雪夫特性为主。
带内驻波比（vswr）：衡量滤波器通带内信号是否良好匹配传输的一项重要指标。理想匹配vswr=1：1，失配时vswr》1。对于一个实际的滤波器而言，满足vswr《1.5：1的带宽一般小于bw3db，其占bw3db的比例与滤波器阶数和插损相关。滤波器的电压驻波比（vswr）是衡量滤波器与它所在系统的特征阻抗匹配程度的一个指标。滤波器某个端口的vswr是当另外一个端口精确匹配系统特征阻抗（高频系统中一般为50ω）时从该端口看进去的阻抗。因此，一个滤波器的指标通常同时包括输入vswr和输出vswr的典型值和最大值，分别代表滤波器与它所连接的源和负载阻抗的匹配程度。vswr用与1的比例值表示，如1.50:1，但也可以表示为滤波器的反射损耗（单位db）。如果一个滤波器在通带和阻带上都呈现阻抗匹配，那么这个滤波器就被认为是吸收型滤波器，当只在通带上做到阻抗匹配时，这个滤波器被认为是反射型滤波器。后一种滤波器在阻带上有较高的vswr，如20.0:1或更高。滤波器的电源处理能力通常与滤波器的物理尺寸、工作频率范围、滤波器技术、基板材料类型、封装类型、材料的散热极限有关。最大功率极限也是信号类型（如连续波（cw）或脉冲信号）以及该信号使用的调制类型的一个函数。
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插入损耗：
图二（a） 表示一个电源，它的电动势为eg，内阻为r1。设负载为r2，则当负载直接与电源相接时，它所能吸收的功率为：
现在我们将滤波器a接于电源与负载之间，如图二（b） 所示，由于滤波器的特性，当电源频率变化时，出现于r2两端的压降e2是不同的，即r2从电源所取得的功率
在不同频率上是不等的。用分贝来表示的p02 与p2的比值称为插入损耗li：
插入损耗li是衡量滤波器效能的一个参数。根据上面的讨论，显然可见，一个良好的滤波器的插入损耗在通带内应该比较低，而在止带内应该比较高。理想的滤波器的插入损耗在通带内应该等于零，而在止带内应该是无穷大。插入损耗是普通滤波器常用的参数。滤波网络具有的阻抗变换特性不难使负载r2在整个通带内与电源达成匹配。这时，负荷所吸收的功率将超过p02，而使li取得负值。根据r1和r2的比值不同，li的这个负值也不一样。因此，插入损耗li并不是一个很方便的比较基准。为了避免这种困难，人们还提出另外一个参数，它以电源所能供给的最大功率p0为基准
巴特沃兹滤波器
1.巴特沃思（butterworth）低通滤波器（简称bw型滤波器）
（1） 基本性质
图5.32 低通滤波器的幅度平方频率响应
所谓巴特沃思滤波器就是以巴特沃思近似函数作为滤波器的系统函数，该函数以最高阶台劳级数的形式来逼近理想矩形特性。式（5.38）是它的通用模方函数表示式。
可见，它的分子等于常数，分母是
（或
）的多项式，是一个正实函数，由它导出的系统函数在物理上是可以实现的。式中n表示滤波器的阶次是正整数， ωc为截止频率或取衰耗
等于3db时的带宽，ε为与通带衰耗 ap有关的参数，λ为与阻带衰耗ar 有关的参数，如图5.32所示。图中 ωc是截频、也是通带的边界频率，ωc是阻带的边界频率，所以有
当ε→0，λ→∞，ωr→ωc则滤波特性趋近于理想的矩形。
显见，参数ε与λ主要取决于设计指标容限范围。若指标规定在通带边界频率，通带允许的最大衰耗为ap则根据式（5.39）有
故得
对bw型滤波器，通常取 ap=3db 带宽作为截频，所以ε=1。若规定在阻带边界频率，阻带允许的最小衰耗为ar ，则根据式（5.39）有
故得
图5.33 归一化巴特沃思低通滤波器的幅度特性曲线
模拟滤波器设计过程，为了通用性，模方函数往往用规一化形式表示。对bw型取
为规一化频率，则式（5.38）改写成
式中
表示归一化模方函数如图5.33所示，其幅度随着n的增加，通带愈益平坦，愈接近理想特性，当n→∞则逼近矩形，即
下面结合式（5.43）说明bw型低通滤波器所具有的基本性质。
（a） 对不同n值都存在
这说明，幅度特性在正频率范围（包括通带与阻带），随着频率ω的升高单调地下降。ω=0（直流）为最大，ω=∞趋于零，也就是说没有有限零点。
（b） 当ω=0，即对直流来说，理想幅度特性与所得近似特性之间的差别，不仅对巴沃思函数本身，就是对2n-1阶导数来说，都等于零。因为式（5.43）按二项式定理或台劳级数展开可得
所以
这说明在ω=0和ω=∞附近是最“平坦”的，故而巴特沃思滤波器又叫做“最大平坦”近似。
（c） 当频率远离 ω ，即ω》》 1高频范围，频率每增加一倍（倍频程）衰耗增加6ndb。或者说，“滚降率”为6ndb/倍频程，因为这时
所以
当
切比雪夫：
图6.2.5分别画出阶数n为奇数与偶数时的切比雪夫ⅰ型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用a2（ω）表示：
图6.2.5 切比雪夫ⅰ型滤波器幅频特性
贝塞尔滤波器：
由于其线性相位响应特性，使得此类滤波器具有最优的脉冲响应（最小化过冲及振铃）性能。对于给定的极点数量而言，贝赛尔的幅频响应并不如巴特沃兹平坦，-3 db 截止频率以外频带的衰减也不如巴特沃兹陡峭。尽管须采用更高阶的贝赛尔滤波器来逼近给定的巴特沃兹滤波器的幅频响应，但考虑到贝赛尔滤波器的脉冲响应保真度，增加一定的复杂性（源于附加的滤波器部件）也是物有所值的。
三种响应的对比：
巴特沃兹响应：
优点：巴特沃兹滤波器提供了最大的通带幅度响应平坦度，具有良好的综合性能，其脉冲响应优于切比雪夫，衰减速度优于贝赛尔。
缺点：阶跃响应存在一定的过冲及振荡。
切比雪夫响应：
优点：与巴特沃兹相比，切比雪夫滤波器具有了更良好的通带外衰减。
缺点：通带内纹波令人不满，阶跃响应的振铃较严重。
贝赛尔响应：
优点：贝赛尔滤波器具有最优的阶跃响应——非常小的过冲及振铃。缺点：与巴特沃兹相比，贝赛尔滤波器的通带外衰减较为缓慢
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