运算放大器的实测放大倍数原因分析
昨天晚上， 发了一篇微头条，说的是我们使用的一个三相市电电压采样处理电路。
在家里接入220v市电测试时，测得的放大倍数约为5.96，与理论计算的10倍左右的放大倍数不一致，如下：
在家里用国产2000元左右的示波器测量单相市电电压的波形。
该波形由1ma:1ma的交流互感器经过运放处理得到；
在运放输出端测得电压峰-峰值仅为940mv左右。
用万用表测试市电的真有效值为223v。
按理论计算，
互感器初级的电流为223v/400k=0.5575ma。
互感器次级的电流也为0.5575ma，在100欧采样电阻r4两端得到的电压为55.75mv的真有效值。
峰-峰值为55.75*2*sqrt（2）=157.66mv。
与示波器在r4两端测得电压的峰-峰值一致；
运放的同相端输入电压为：
3.3v*r9/r7+r9=3.3*2.2/47+2.2=0.1475v。
同相端的输入电压经过运放在输出端得到的电压为 0.1475*（1+r1/r2）=0.1475*11=1.62v。
这与示波器测得运放输出电压的直流电平一致。此时，电压互感器的输出电压经过运放放大之后，在输出端得到的电压峰-峰值应该为：157.66*10=1.58v。
但是，实际测得电压的峰-峰值仅为0.94v。放大倍数仅为0.94/0.15766=5.96。
与理论的放大倍数r1/r2=10，差了一倍。问题出在哪里呢？
示波器测得的运放输出的波形
市电电压采样和处理电路
一、电路分析
根据电路叠加原理，可以将该电路的直流和交流分别进行分析，
所得到的运放输出端的信号叠加在一起即得到总的输出信号，
交流和直流的有可能经过不同的通路，
对于直流信号，电感相当于短路，电容相当于断路，
而对于交流信号，电感和电容都应该考虑其阻抗，
当信号频率为f时，感量为l的电感的阻抗为，
容量为c的电容的阻抗为，
根据上述原则，分别画出直流通路的电路图以及交流通路的电路图，
因为电压互感器的输出电阻很小，在此忽略不计；
简化的直流通路
根据运放的虚断原理，其同相输入端的输入电阻无穷大。
输入电压vr3为：
。
根据虚短原理，其反相输入端的电压与同相输入端的电压相同，即为vr3。
根据基尔霍夫电流定律，流入节点2的总电流为0，
同时根据虚断原理，从运放反相端流入节点2的电流为0，所以：
进一步整理得到：
代入数值得到：
输出端直流电平刚好是电源电压的一半，可以保证所得到的交流信号幅度达到最大。
根据与直流通路相同的分析，流入节点2的总电路为：
进一步化简得到：
根据复数的性质，上式传递输入-输出电压的传递函数的模为：
该模即为运放对交流信号的放大倍数，表示了信号幅度的放大倍数与频率之间的关系；
可见，当交流信号的频率为0时，即为直流信号时，放大倍数达到最大，为r1/r2=10。
随着频率f的增加，放大倍数减小，
该函数为非线性函数，
在频率比较低时，曲线比较平坦，斜率比较小。
在频率比较高时，曲线变得陡峭，斜率也变大。
当
时，放大倍数降到通带内的0.707倍，即为7.07。
功率为通带内的一半，频率的衰减为20*log（0.707）=-3db。
对应的频率称之为-3db截止频率，
，当电阻为47kω，电容为103（10nf）时，
-3db截止频率为338hz。
对于50hz工频信号，其放大倍数为
幅-频特性
二、问题原因
当电容c1为104而非103时，幅-频特性曲线如下图：
-3db截止频率为：
电容c1为104（100nf）时幅频特性
-3db截止频率仅为34hz，对于工频50hz的信号，其放大倍数为5.6。
因此，应该是容值为103的电容c1，误焊成了104的电容。
将电容换成104之后，再次用示波器测量，放大倍数约等于10。
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在运放输出端测得电压峰-峰值仅为940mv左右。
用万用表测试市电的真有效值为223v。
按理论计算，
互感器初级的电流为223v/400k=0.5575ma。
互感器次级的电流也为0.5575ma，在100欧采样电阻r4两端得到的电压为55.75mv的真有效值。
峰-峰值为55.75*2*sqrt（2）=157.66mv。
与示波器在r4两端测得电压的峰-峰值一致；
运放的同相端输入电压为：
3.3v*r9/r7+r9=3.3*2.2/47+2.2=0.1475v。
同相端的输入电压经过运放在输出端得到的电压为 0.1475*（1+r1/r2）=0.1475*11=1.62v。
这与示波器测得运放输出电压的直流电平一致。此时，电压互感器的输出电压经过运放放大之后，在输出端得到的电压峰-峰值应该为：157.66*10=1.58v。
但是，实际测得电压的峰-峰值仅为0.94v。放大倍数仅为0.94/0.15766=5.96。
与理论的放大倍数r1/r2=10，差了一倍。问题出在哪里呢？
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所得到的运放输出端的信号叠加在一起即得到总的输出信号，
交流和直流的有可能经过不同的通路，
对于直流信号，电感相当于短路，电容相当于断路，
而对于交流信号，电感和电容都应该考虑其阻抗，
当信号频率为f时，感量为l的电感的阻抗为，
容量为c的电容的阻抗为，
根据上述原则，分别画出直流通路的电路图以及交流通路的电路图，
因为电压互感器的输出电阻很小，在此忽略不计；
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输入电压vr3为：
。
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同时根据虚断原理，从运放反相端流入节点2的电流为0，所以：
进一步整理得到：
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随着频率f的增加，放大倍数减小，
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当
时，放大倍数降到通带内的0.707倍，即为7.07。
功率为通带内的一半，频率的衰减为20*log（0.707）=-3db。
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，当电阻为47kω，电容为103（10nf）时，
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-3db截止频率为：
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