FPGA基于线性迭代法的除法器设计
01前言
fpga实现除法的方法有几种，比如直接用/来进行除法运算，调用ip核进行除法运算，但这两种方式都有个共同的问题——都是黑盒子，在进行时序违例处理时，往往不好操作，比如想打打拍改善下时序都不知从何下手。
02原理介绍
我们都知道商（s）= 分子（fz）/分母（fm）,该计算过程可等效于公式1
其中fm0为fm/2**fm_shift_bit后所得的取值范围为[1,2)数，通过取一个合适的fm_shift_bit的值，使得fm0的值在[1,2]之间。
同理fz0为fz/2**fz_shift_bit后所得的取值范围为[1,2)数，通过取一个合适的fz_shift_bit的值，使得fz0的值在[1,2]之间。
最后经过多次迭代后，由公式1和公式4得，
当fm0*f1*f2*......fn=1时 s=fz0*f1*f2*......fn*2**（fz_shift_bit-fm_shift_bit）
例子
利用线性迭代的方式计算33/9
步骤如下：第1步：将分子分母转换为[1,2)之间的数此时得fz0 =33/2**5 = 1.03125fm0=9/2**3 = 1.125以上部分在fpga中相当于右移由公式2、3得到fm_shift_bit = 3fz_shift_bit = 5第2步：利用公式进行线性迭代，令fm0*f1*f2*......fn=fm_pre，使fm_pre接近于1由第1步得fm0=1.125 再通过公式5和公式6得f1=2-1.125=0.875 fm1=1.125*0.875=0.984375 f2=2-0.9875=1.0125 fm2=0.984375*1.0125=0.9966796875f3=2-0.9966796875=1.0033203125 迭代 3次后fm_pre=1.125*0.875*1.0125*1.0033203125 = 0.99998897552490234375接近于1此时由公式4得：s=1.03125*f1*f2*f3*2**(5-3)= 3.66662624359130859375与理论计算值误差为4.0423075358072916666666666666667e-6
在实际过程应用中，我们可以根据实际的误差要求确认迭代的次数。
01根据原理建立的matlab浮点数仿真模型
具体的matlab模型代码如下所示
code
matlab迭代运算代码
function s = div_float(fz, fm, itr )%----------------------判断结果的符号-----------------if ((fz >= 0) && (fm >= 0)) || ((fz = 2 || fz_inner = 2 fz_inner = floor(fz_inner/2); fz_shift_bit = fz_shift_bit + 1; else fz_inner = fz_inner * 2; fz_shift_bit = fz_shift_bit - 1; end end fz = fz/2^fz_shift_bit;end%fprintf('a_shift_bit = ');disp(a_shift_bit);%---------------限定分母范围在[1,2)---------if fm >=0 fm = fm;else fm = -fm;endfm_shift_bit = 0;if fm ~= 0 fm_inner = fm ; while((fm_inner >= 2) || (fm_inner = 2 fm_inner = floor(fm_inner/2); fm_shift_bit = fm_shift_bit + 1; else fm_inner = fm_inner * 2; fm_shift_bit = fm_shift_bit - 1; end end fm = fm/2^fm_shift_bit;end%fprintf('b_shift_bit = ');disp(b_shift_bit);%-----------迭代过程------------------for cnt = 0:itr-1 f = 2 - fm; fz = fz * f; fm = fm * f;end%------------迭代完成后计算商-------------------%------------当分子分母同时等于0时，令商等于0，%------------否则，当符号标志为正数时，令其等于商的最大值if fm ~= 0 s = fz * 2^(fz_shift_bit - fm_shift_bit);% fprintf('a = ');disp(a);% fprintf('b = ');disp(b);% fprintf('c = ');disp(c); if sign_flag == 0 s = s; else s = -s;% fprintf('~c = ');disp(c); endelse if fz == 0 s = 0; else if sign_flag == 0 s = 256 - 2^-7; else s = -256; end endend
code
matlab仿真tb
clear;clc;close all;itr = 8;%-----------定义分子分母和商的精度---------------delt_fz = 2^-4;delt_fm = 2^-2;delt_s = 2^-7;cntwhole = 1;for fz = -3232 - delt_fz for fm = -8 : delt_fm : 8 - delt_fm s = div_float(fz, fm, itr); s_real = fz/fm; if s_real >= 256 s_real = 256 - delt_s; elseif s_real < -256 s_real = -256; else s_real = s_real; end err = abs(s_real - s); s_reg(cntwhole) = s; s_real_reg(cntwhole) = s_real; err_reg(cntwhole) = err; cntwhole = cntwhole + 1; endendfigure;plot(s_reg);title(迭代算出的结果);figure;plot(s_real_reg);title(理论结果);figure;plot(err_reg);title(误差图);grid on;
下图迭代参数itr取不同值时的理论值与线性迭代值之间的误差图。
itr=8时
此时最大误差为2.7466*10**-7
itr=10时
此时最大误差为7.10543*10**-15
itr=50时
此时最大误差为7.10543*10**-15
由itr分别取8，10，50后所得到的理论值与线性迭代算出的值做差所得到的误差图可知，并不是迭代次数越多精度越小，当迭代次数达到一个临界值后，迭代的次数其实对商的影响就不是很大了。
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02原理介绍
我们都知道商（s）= 分子（fz）/分母（fm）,该计算过程可等效于公式1
其中fm0为fm/2**fm_shift_bit后所得的取值范围为[1,2)数，通过取一个合适的fm_shift_bit的值，使得fm0的值在[1,2]之间。
同理fz0为fz/2**fz_shift_bit后所得的取值范围为[1,2)数，通过取一个合适的fz_shift_bit的值，使得fz0的值在[1,2]之间。
最后经过多次迭代后，由公式1和公式4得，
当fm0*f1*f2*......fn=1时 s=fz0*f1*f2*......fn*2**（fz_shift_bit-fm_shift_bit）
例子
利用线性迭代的方式计算33/9
步骤如下：第1步：将分子分母转换为[1,2)之间的数此时得fz0 =33/2**5 = 1.03125fm0=9/2**3 = 1.125以上部分在fpga中相当于右移由公式2、3得到fm_shift_bit = 3fz_shift_bit = 5第2步：利用公式进行线性迭代，令fm0*f1*f2*......fn=fm_pre，使fm_pre接近于1由第1步得fm0=1.125 再通过公式5和公式6得f1=2-1.125=0.875 fm1=1.125*0.875=0.984375 f2=2-0.9875=1.0125 fm2=0.984375*1.0125=0.9966796875f3=2-0.9966796875=1.0033203125 迭代 3次后fm_pre=1.125*0.875*1.0125*1.0033203125 = 0.99998897552490234375接近于1此时由公式4得：s=1.03125*f1*f2*f3*2**(5-3)= 3.66662624359130859375与理论计算值误差为4.0423075358072916666666666666667e-6
在实际过程应用中，我们可以根据实际的误差要求确认迭代的次数。
01根据原理建立的matlab浮点数仿真模型
具体的matlab模型代码如下所示
code
matlab迭代运算代码
function s = div_float(fz, fm, itr )%----------------------判断结果的符号-----------------if ((fz >= 0) && (fm >= 0)) || ((fz = 2 || fz_inner = 2 fz_inner = floor(fz_inner/2); fz_shift_bit = fz_shift_bit + 1; else fz_inner = fz_inner * 2; fz_shift_bit = fz_shift_bit - 1; end end fz = fz/2^fz_shift_bit;end%fprintf('a_shift_bit = ');disp(a_shift_bit);%---------------限定分母范围在[1,2)---------if fm >=0 fm = fm;else fm = -fm;endfm_shift_bit = 0;if fm ~= 0 fm_inner = fm ; while((fm_inner >= 2) || (fm_inner = 2 fm_inner = floor(fm_inner/2); fm_shift_bit = fm_shift_bit + 1; else fm_inner = fm_inner * 2; fm_shift_bit = fm_shift_bit - 1; end end fm = fm/2^fm_shift_bit;end%fprintf('b_shift_bit = ');disp(b_shift_bit);%-----------迭代过程------------------for cnt = 0:itr-1 f = 2 - fm; fz = fz * f; fm = fm * f;end%------------迭代完成后计算商-------------------%------------当分子分母同时等于0时，令商等于0，%------------否则，当符号标志为正数时，令其等于商的最大值if fm ~= 0 s = fz * 2^(fz_shift_bit - fm_shift_bit);% fprintf('a = ');disp(a);% fprintf('b = ');disp(b);% fprintf('c = ');disp(c); if sign_flag == 0 s = s; else s = -s;% fprintf('~c = ');disp(c); endelse if fz == 0 s = 0; else if sign_flag == 0 s = 256 - 2^-7; else s = -256; end endend
code
matlab仿真tb
clear;clc;close all;itr = 8;%-----------定义分子分母和商的精度---------------delt_fz = 2^-4;delt_fm = 2^-2;delt_s = 2^-7;cntwhole = 1;for fz = -3232 - delt_fz for fm = -8 : delt_fm : 8 - delt_fm s = div_float(fz, fm, itr); s_real = fz/fm; if s_real >= 256 s_real = 256 - delt_s; elseif s_real < -256 s_real = -256; else s_real = s_real; end err = abs(s_real - s); s_reg(cntwhole) = s; s_real_reg(cntwhole) = s_real; err_reg(cntwhole) = err; cntwhole = cntwhole + 1; endendfigure;plot(s_reg);title(迭代算出的结果);figure;plot(s_real_reg);title(理论结果);figure;plot(err_reg);title(误差图);grid on;
下图迭代参数itr取不同值时的理论值与线性迭代值之间的误差图。
itr=8时
此时最大误差为2.7466*10**-7
itr=10时
此时最大误差为7.10543*10**-15
itr=50时
此时最大误差为7.10543*10**-15
由itr分别取8，10，50后所得到的理论值与线性迭代算出的值做差所得到的误差图可知，并不是迭代次数越多精度越小，当迭代次数达到一个临界值后，迭代的次数其实对商的影响就不是很大了。
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