自动控制系统的设计--控制系统设计的基本思路--串连校正装置
自动控制系统的设计
6.1 控制系统设计的基本思路
如前所述，一个单输入单输出的控制系统一般可化为图6－1的形式，g0(s)是控制系统的不可变部分，即被控对象，h(s)为反馈环节。未校正前，系统不一定能达到理想的控制要求，因此有必要根据希望的性能要求进行重新设计。在进行系统设计时，应考虑如下几个方面的问题：
（1） 综合考虑控制系统的经济指标和技术指标，这是在系统设计中必须要考虑的。
（2） 控制系统结构的选择。对单输入、单输出系统，一般有四种结构可供选择：前馈校正、串联校正、反馈校正和复合校正，其框图如图6－2。考虑到串联校正比较经济，易于实现，且设计简单，在实际应用中大多采用此校正方法，因此本章只讨论串联校正，典型的校正装置有超前校正、滞后校正、滞后－超前校正和pid校正等装置。
（3） 控制器或校正装置的选择。校正装置的物理器件可以有电气的、机械的、液压的和气动的等形式，选择的一般原则是根据系统本身结构的特点、信号的性质和设计者的经验，并综合经济指标和技术指标进行选择。本书我们以电气校正装置作为控制器，详述有源和无源装置的工作原理和设计方法。其思想方法同样适用于其它类型的校正装置设计。
（4） 校正手段或校正方法的选择。究竟采用时域还是频域方法，须根据控制系统性能指标的表达方式选择。控制系统的性能指标通常包括动态和静态两个方面。动态性能指标用于反应控制系统的瞬态响应情况，它一般可用时域性能指标和频域指标两个方面：1）时域性能指标：调整时间ts 、上升时间tr 、峰值时间tp 和最大超调量
mp等；2）频域性能指标：开环指标包括相位裕量γ 、增益裕量ag ；闭环指标包括谐振峰值mr 、谐振频率ωr 和频带宽度ωb等。
在进行系统设计时，若所使用的指标是时域指标，则一般宜用根轨迹法进行设计，使闭环系统的极点重新配置；若所使用的指标是频域指标，宜用频率法（如伯德图或极坐标）进行设计。
最后需要指出，由于电子技术和计算机技术的发展，目前实际系统中大量采用的控制器是有源校正装置，如典型的pid调节器，但正如下文大家将看到的，无源校正与有源校正尽管组成形式有差别，但它们的工作原理是相同的。
图6-2控制系统校正的几种方式
串连校正装置的结构与特性 前面介绍了校正装置的结构形式。为了满足不同系统的控制性能要求，串联校正装置可设计成相位超前校正、相位迟后校正和和相位迟后－超前校正形式。本节首先介绍此三种装置的无源和有源网络结构，然后在此基础上介绍频率校正原理和matlab的设计方法。而关于串联校正装置的根轨迹方法则在下一节介绍。
6.2.1 超前校正
如前所述，为满足控制系统的静态性能要求，最直接的方法是增大控制系统的开环增益，但当增益增大到一定数值时，系统有可能变为不稳定，或即使能稳定，其动态性能一般也不会理想。为此，需在系统的前向通道中加一超前校正装置，以实现在开环增益不变的前提下，系统的动态性能亦能满足设计的要求。本节先讨论超前校正网络的特性，然后分别介绍基于频率响应法的超前校正装置的设计过程。 （一）超前校正装置
图6-3 超前校正装置
（a） 无源校正装置 （b）有源校正装置
图6－3分别为无源和有源超前校正网络。对于无源校正装置(a)，忽略该网络的输入阻抗和输出阻抗效应，则其传递函数为：
(6-1)
式中， ,
上式另一常见形式可写作：
(6-2)
式中， ,
对于有源校正装置(b)，其对应的传递函数为：
(6-3)
式中， 。
负号是因为采用了负反馈的运算放大器，再串联一只反相运算放大器即可消除负号。
在式（6－3）中，令r1c=t1,r2c=t2 ，则（6－3）可写成如下形式：
(6-4)
上式即为实际的比例微分控制器（pd）的传递函数的表达式。
超前校正装置的零、极点分布如图6－4所示，由于β>1 ，故 gc(s)的零点总在其极点的右侧。由式（6－1）和式（6－2）可知，在采用超前校正网络时，系统的开环增益会有1/β （或k ）倍的衰减。对此，用放大倍数β 或（1/k）的附加放大器予以补偿。经补偿后，令α=1/β ，其传递函数 ，
频率特性为:
(6-5)
与式（6－5）对应的幅频特性的表达式分别为：
(6-6)
(6-7)
其相应的极坐标如图6－5。由图可见，超前校正装置的极坐标是一个位于第一象限的半圆，圆心坐标 [(1+1/α)/2,j0],半径为 (1/α-1)/2,从坐标原点到半圆作切线，它与正实轴的夹角即为该校正装置的最大超前角φm ，且有：
(6-8)
此最大超前角对应的频率可由式（6－7）得到。令dφ(ω)/dω=0,则有：
(6-9)
对式（6－6）的幅频特性取对数坐标，有：
(6-10)
根据式（6—7）、（6—10），可令 ，利用如下matkab语句作出它的伯德图，如图6—6所示。
图6—6
alpha=0.1; t=1;
gc=tf([t,1],[alpha*t,1]);
[x0,y0,w]=bode(gc);[x,y]=bode_asymp(gc,w);
subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y)
subplot(212),semilogx(w,y0(:))
由式（6—7）可知，由于α<1，因而当 0<ω1,且令 t2>t1。同时，上式也可改写成如下形式：
(6-15)
其中前半部分起超前作用，后半部分起迟后作用。
同理，有源校正装置的传递函数为：
(6-16)
显然，有源迟后－超前校正装置的传递函数同时是一个典型的pid控制器，式中：kp为比例系数，ti 积分时间常数，td为微分时间常数。
（二）迟后－超前校正装置的极点及频率特性
根据迟后－超前装置的传递函数，可得到其频率特性：
(6-17)
其对应的幅频特性和相频特性分别为：
(6-18)
图6—14
(6-19)
根据上面二式可分别画出其零、极点分布图、极坐标图、伯德图。从图中看出，因 t2>t1，迟后部分的零极点更靠近原点，使系统的静态性能得到改善。
从图6－13和6－14可以看出当ω从0→ω1 变化时，迟后－超前校正装置起超前作用，而当ω从ω1→∞ 变化时，校正装置起迟后作用。由下列matlab语句可得到其伯德图：
alpha=[0.1:0.1:0.5]; t1=1;t2=5;
gc=tf([t1,1],[alpha*t1,1])*tf([alpha*t2,i],[t2,1]);
[x0,y0,w]=bode(gc);[x,y]=bode_asymp(gc,w);
subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y)
subplot(212),semilogx(w,y0(:))
同时，容易计算相角为零的频率ω1 为：
(6-20)
可见，迟后－超前校正装置是超前装置和迟后装置的组合。
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6.1 控制系统设计的基本思路
如前所述，一个单输入单输出的控制系统一般可化为图6－1的形式，g0(s)是控制系统的不可变部分，即被控对象，h(s)为反馈环节。未校正前，系统不一定能达到理想的控制要求，因此有必要根据希望的性能要求进行重新设计。在进行系统设计时，应考虑如下几个方面的问题：
（1） 综合考虑控制系统的经济指标和技术指标，这是在系统设计中必须要考虑的。
（2） 控制系统结构的选择。对单输入、单输出系统，一般有四种结构可供选择：前馈校正、串联校正、反馈校正和复合校正，其框图如图6－2。考虑到串联校正比较经济，易于实现，且设计简单，在实际应用中大多采用此校正方法，因此本章只讨论串联校正，典型的校正装置有超前校正、滞后校正、滞后－超前校正和pid校正等装置。
（3） 控制器或校正装置的选择。校正装置的物理器件可以有电气的、机械的、液压的和气动的等形式，选择的一般原则是根据系统本身结构的特点、信号的性质和设计者的经验，并综合经济指标和技术指标进行选择。本书我们以电气校正装置作为控制器，详述有源和无源装置的工作原理和设计方法。其思想方法同样适用于其它类型的校正装置设计。
（4） 校正手段或校正方法的选择。究竟采用时域还是频域方法，须根据控制系统性能指标的表达方式选择。控制系统的性能指标通常包括动态和静态两个方面。动态性能指标用于反应控制系统的瞬态响应情况，它一般可用时域性能指标和频域指标两个方面：1）时域性能指标：调整时间ts 、上升时间tr 、峰值时间tp 和最大超调量
mp等；2）频域性能指标：开环指标包括相位裕量γ 、增益裕量ag ；闭环指标包括谐振峰值mr 、谐振频率ωr 和频带宽度ωb等。
在进行系统设计时，若所使用的指标是时域指标，则一般宜用根轨迹法进行设计，使闭环系统的极点重新配置；若所使用的指标是频域指标，宜用频率法（如伯德图或极坐标）进行设计。
最后需要指出，由于电子技术和计算机技术的发展，目前实际系统中大量采用的控制器是有源校正装置，如典型的pid调节器，但正如下文大家将看到的，无源校正与有源校正尽管组成形式有差别，但它们的工作原理是相同的。
图6-2控制系统校正的几种方式
串连校正装置的结构与特性 前面介绍了校正装置的结构形式。为了满足不同系统的控制性能要求，串联校正装置可设计成相位超前校正、相位迟后校正和和相位迟后－超前校正形式。本节首先介绍此三种装置的无源和有源网络结构，然后在此基础上介绍频率校正原理和matlab的设计方法。而关于串联校正装置的根轨迹方法则在下一节介绍。
6.2.1 超前校正
如前所述，为满足控制系统的静态性能要求，最直接的方法是增大控制系统的开环增益，但当增益增大到一定数值时，系统有可能变为不稳定，或即使能稳定，其动态性能一般也不会理想。为此，需在系统的前向通道中加一超前校正装置，以实现在开环增益不变的前提下，系统的动态性能亦能满足设计的要求。本节先讨论超前校正网络的特性，然后分别介绍基于频率响应法的超前校正装置的设计过程。 （一）超前校正装置
图6-3 超前校正装置
（a） 无源校正装置 （b）有源校正装置
图6－3分别为无源和有源超前校正网络。对于无源校正装置(a)，忽略该网络的输入阻抗和输出阻抗效应，则其传递函数为：
(6-1)
式中， ,
上式另一常见形式可写作：
(6-2)
式中， ,
对于有源校正装置(b)，其对应的传递函数为：
(6-3)
式中， 。
负号是因为采用了负反馈的运算放大器，再串联一只反相运算放大器即可消除负号。
在式（6－3）中，令r1c=t1,r2c=t2 ，则（6－3）可写成如下形式：
(6-4)
上式即为实际的比例微分控制器（pd）的传递函数的表达式。
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频率特性为:
(6-5)
与式（6－5）对应的幅频特性的表达式分别为：
(6-6)
(6-7)
其相应的极坐标如图6－5。由图可见，超前校正装置的极坐标是一个位于第一象限的半圆，圆心坐标 [(1+1/α)/2,j0],半径为 (1/α-1)/2,从坐标原点到半圆作切线，它与正实轴的夹角即为该校正装置的最大超前角φm ，且有：
(6-8)
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(6-9)
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(6-10)
根据式（6—7）、（6—10），可令 ，利用如下matkab语句作出它的伯德图，如图6—6所示。
图6—6
alpha=0.1; t=1;
gc=tf([t,1],[alpha*t,1]);
[x0,y0,w]=bode(gc);[x,y]=bode_asymp(gc,w);
subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y)
subplot(212),semilogx(w,y0(:))
由式（6—7）可知，由于α<1，因而当 0<ω1,且令 t2>t1。同时，上式也可改写成如下形式：
(6-15)
其中前半部分起超前作用，后半部分起迟后作用。
同理，有源校正装置的传递函数为：
(6-16)
显然，有源迟后－超前校正装置的传递函数同时是一个典型的pid控制器，式中：kp为比例系数，ti 积分时间常数，td为微分时间常数。
（二）迟后－超前校正装置的极点及频率特性
根据迟后－超前装置的传递函数，可得到其频率特性：
(6-17)
其对应的幅频特性和相频特性分别为：
(6-18)
图6—14
(6-19)
根据上面二式可分别画出其零、极点分布图、极坐标图、伯德图。从图中看出，因 t2>t1，迟后部分的零极点更靠近原点，使系统的静态性能得到改善。
从图6－13和6－14可以看出当ω从0→ω1 变化时，迟后－超前校正装置起超前作用，而当ω从ω1→∞ 变化时，校正装置起迟后作用。由下列matlab语句可得到其伯德图：
alpha=[0.1:0.1:0.5]; t1=1;t2=5;
gc=tf([t1,1],[alpha*t1,1])*tf([alpha*t2,i],[t2,1]);
[x0,y0,w]=bode(gc);[x,y]=bode_asymp(gc,w);
subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y)
subplot(212),semilogx(w,y0(:))
同时，容易计算相角为零的频率ω1 为：
(6-20)
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